zeigen von ungleichung über binomischer Lehrsatz

09.10.2014, 19:13

derM.

zeigen von ungleichung über binomischer Lehrsatz

Meine Frage:
Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1 + \frac{n*(n-1)}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
wie könnte ich anfangen?

09.10.2014, 19:18

HAL 9000

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Also für $\begin{align*} x=-1,n=2 \end{align*}$ ist das falsch. Es wäre also sinnvoll, noch die erforderlichen einschränkenden Voraussetzungen für $\begin{align*} x,n \end{align*}$ zu nennen...

@Stephan Kulla

Deiner... smile

09.10.2014, 19:19

Stephan Kulla

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RE: zeigen von ungleichung über binomischer Lehrsatz
Wie lautet den sie Summe von $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ nach dem binomischen Lehrsatz? Schreibe sie mal auf (am besten auch in der Pünktchen-Schreibweise).

PS: Welche Bedinung hast du für x? x >= 0?!

09.10.2014, 19:20

derM.

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tut mir leid, habe ich vergessen Big Laugh

x>=0, n>=1

09.10.2014, 19:29

derM.

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$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n x^{n-k} *1^k \end{eqnarray*}$

09.10.2014, 21:02

Gast11022013

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Edit2:

Guck dir den binomischen Lehrsatz lieber doch nochmal an...
Jetzt habe ich mich kurz selbst verwirrt.

09.10.2014, 21:02

derM.

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kennt sich keiner aus?

09.10.2014, 21:06

Gast11022013

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Hatte gerade mich ein wenig selbst verwirrt. Bei dir fehlt was in der Summe.
Dann schreibe die Summe mal für ein paar Glieder aus.

09.10.2014, 21:12

derM.

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brauche ich die summe überhaupt?
wenn ja warum?

09.10.2014, 21:15

Gast11022013

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Wie gesagt solltest du dir die entsprechende Summe bzw. den binomischen Lehrsatz genau ansehen.
Bisher steht er da falsch.

Der binomische Lehrsatz sagt ja, dass

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ und dieser Summenausdruck (den du noch korrigieren musst) gleich sind.

Diese Summe lässt sich für den Beweis der Ungleichung aber viel leichter handhaben, als der Ausdruck mit dem Exponenten, weil sich die Summe viel leichter abschätzen lässt.

09.10.2014, 21:20

derM.

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} *1^k <- \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} *y^k \end{eqnarray*}$

09.10.2014, 21:24

Gast11022013

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Ich gehe mal davon aus, dass du einen Pfeil darstellen wolltest und nicht irgendeine kuriose Ungleichung die keinen Sinn ergibt.

Ja, es fehlte der Binomialkoeffizient.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}\cdot 1^k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k}\cdot 1^{n-k} \end{eqnarray*}$

Die beiden Formen sind ja gleich. Die letztere ist aber vielleicht etwas angenehmer.

Nun nimm

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k} \end{eqnarray*}$ und schreibe einmal die ersten paar Summanden der Reihe explizit hin.

09.10.2014, 21:40

derM.

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soll ich den Binomialkoeffizient benutzen

09.10.2014, 21:43

Gast11022013

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Den wirst du zwangsläufig gebrauchen wenn du die ersten paar Summanden der Summe hinschreibst.

09.10.2014, 21:55

derM.

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \frac{n!}{0!*(n-0)!} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} \frac{n!}{1!*(n-1)!} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \frac{n!}{2!*(n-2)!} = \end{eqnarray*}$

09.10.2014, 21:56

Gast11022013

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Du schreibst es wohl sehr unglücklich auf.

Ansonsten meinst du aber wohl das richtige. Schreibe nochmal eindeutig hin, was nun dein Schritt ist.

09.10.2014, 22:05

derM.

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}= \frac{n*(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

09.10.2014, 22:07

derM.

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mein Problem ist, dass ich vorher sowas nie gemacht habe, alles ist neu und ich steigere mich ein

danke trotzdem für deine Hilfe!

09.10.2014, 22:17

Gast11022013

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Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}= \frac{n*(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt und ist auch nützlich.

Also, wir möchten eine Ungleichung beweisen.
Dabei ist es oft hilfreich abzuschätzen.

Du verkleinerst also

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ so, dass du es leichter mit $\begin{eqnarray*} 1+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ vergleichen kannst.
Dazu verwenden wir den binomischen Lehrsatz, weil sich eine Summe sehr viel leichter nach unten abschätzen lässt als der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$

Nun hast du oben die ersten drei Summanden hingeschrieben. Du hast also die Summe

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k \end{eqnarray*}$ nach unten abgeschätzt. Mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\geq \binom{n}{0}\frac{n!}{n!}+\binom{n}{1}\frac{n!}{(n-1)!}x+\binom{n}{2}\frac{n!}{2(n-2)!}x^2 \end{eqnarray*}$

Links dieser Ungleichung steht eine Summe mit n Summanden. Aus dieser Summe entfernen wir nun alle bis auf die ersten drei.

Nun guck dir diese Abschätzung an und vergleiche mit dem was wir erhalten wollten.
Was müssen wir noch tun, damit wir am Ziel sind?

10.10.2014, 21:05

derM.

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@gmasterflash

wir haben bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^n%20\binom{n}{k}x^k\geq%20\frac{n!}{2(n-2)!}x^2=\frac{n*(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

wir brauchen zu zeigen, dass wir haben bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^n%20\binom{n}{k}x^k\geq%20\frac{n!}{2(n-2)!}x^2=1+\frac{n*(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

was machen wir mit 1

10.10.2014, 21:30

Gast11022013

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Guck dir oben noch einmal die Abschätzung an.
Da steht eigentlich eine 1, nur komplizierter.

10.10.2014, 21:39

derM.

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ist es n!/n!

10.10.2014, 21:43

Gast11022013

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!} \end{eqnarray*}$ ?

Mir fällt gerade auf, dass ich oben deine kuriose Gleichung ausversehen falsch übernommen habe. (Copy & Paste...)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\geq \frac{n!}{n!}+\frac{n!}{(n-1)!}x+\frac{n!}{2(n-2)!}x^2 \end{eqnarray*}$

So sollte es natürlich lauten.

10.10.2014, 21:53

derM.

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ist es n!/n! oder nicht?

10.10.2014, 21:55

Gast11022013

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Na, was kann man denn anstelle von

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!} \end{eqnarray*}$

schreiben...

10.10.2014, 21:58

derM.

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eine zahl durch die selbe zahl ergibt doch immer 1
z.B.:
500/500 = 1 dass heißt n!/n!=1