Zerlegung in Linearfaktoren/ Satz von Vieta

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09.10.2014, 19:14	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung in Linearfaktoren/ Satz von Vieta Meine Frage: Hallo liebes Matheboard-Forum, Dies hier ist mein erster Post also bitte verzeiht mir,wenn ich Fehler mache. Also um nicht lange um den heißen Brei herumzureden... Ich(11.Klasse Gymnasium) habe ein Problem mit der Zerlegung eines Polynoms bzw. einer quadratischen Gleichung in Linearfaktoren durch den Satz von Vieta, um daraus die Nullstellen ablesen zu können. Genauer gesagt liegt mein Problem darin, dass wenn ich die beiden Zahlen gefunden habe, die addiert p und multipliziert q ergeben, nicht weiter weiß was diese Zahlen sind bzw. wie ich weiter machen muss um die Nullstellen bzw. die Linearfaktoren zu erhalten. Nehmen wir einmal das Beispiel x²-3x-4 = 0 ; Ein Teiler von "-4" sind -4 und 1. Da diese beiden addiert "-3" ergeben stimmt das soweit oder? Nun zu meiner Frage... Wie mache ich weiter um die Nullstellen und Linearfaktoren zu erhalten? Meine Ideen: Nehmen wir einmal das Beispiel x²-3x-4 = 0 ; Ein Teiler von "-4" sind -4 und 1. Da diese beiden addiert "-3" ergeben stimmt das soweit oder? Nun zu meiner Frage... Wie mache ich weiter um die Nullstellen und Linearfaktoren zu erhalten?
09.10.2014, 19:16	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz von Vieta sagt aber, $\begin{eqnarray} x_1+x_2 = -p \end{eqnarray}$ . edit: Also heißen deine Lösungen?
09.10.2014, 19:20	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung aber ich verstehe jetzt nicht ganz was du meinst?
09.10.2014, 19:24	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Willst du deine Lösungen der quadratischen Gleichung mit dem Satz von Vieta bestimmen (wieso überhaupt? wenn du unsicher bist nimm doch die pq-Formel), dann lautet dieser doch: $\begin{eqnarray} x_1+x_2=-p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \cdot x_2=q \end{eqnarray}$ p ist in deinem Beispiel -3, also -p = 3 Die Summe deiner Lösungen muss also +3 sein. Und damit kommst du nicht auf die Lösungen -4 und 1, sondern -1 und 4.
09.10.2014, 19:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also, ich bin da nicht so stringent. Es geht also um die 1 und die 4. und dann setz ich einfach an: $\begin{eqnarray} (x\pm 4 )(x \pm 1) \end{eqnarray}$ und überlege, welche vorzeichen "passend" sind
09.10.2014, 19:28	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ich dachte, dass die pq-Formel der Satz von Vieta ist.. Tut mir Leid daher meine anfängliche Verwirrung.. Hm... aber letztes Jahr hat unser Mathe Lehrer immer zuerst die Teiler von q mit uns gesucht und diese dann mit den richtigen Vorzeichen versehen, damit sie miteinander addiert, p ergeben ...
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09.10.2014, 19:32	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist doch das was ich auch meinte. Und was ist daran
09.10.2014, 19:32	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hoffe ich nicht, wie gesagt sollte die Summe gerne -p ergeben. Vielleicht verwechselst du das ja auch mit der Linearfaktorzerlegung?! In den Linearfaktoren findest du ja deine Lösungen nun mit dem anderen Vorzeichen wieder, in deinem Beispiel: $\begin{eqnarray} x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \end{eqnarray}$
09.10.2014, 19:34	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh okay dann verwechsele ich das gerade mit der Linearfaktorenzerlegung... Ach du mein Güte jetzt bin ich komplett durcheinander Also um die Nullstelllen herauszufinden muss die Summe -p ergeben.. und wie geht es dann weiter?
09.10.2014, 19:38	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die Lösungen der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray}$ gefunden und seien diese $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , dann ist deine Linearfaktorzerlegung: $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$
09.10.2014, 19:42	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal dass du dir die Zeit für mich nimmst und dort kann ich dann meine Nullstellen ablesen?
09.10.2014, 19:46	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, du hast ja vorher deine Nullstellen bestimmt, um die Linearfaktorzerlegung aufzuschreiben. Wieso willst du sie nun noch mal ablesen? Ist wird nicht viel anderes dabei rauskommen. Aber na klar - das kannst du Nimm einfach wieder die Zahl in der Klammer mit dem anderen Vorzeichen.
09.10.2014, 19:49	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen vielen Dank für deine Hilfe Noch eine Frage : das "a" was vor dem höchsten Grad steht.. Wie bekomme ich das vor die beiden Linearfaktoren? Dem Satz von Vieta und der PQ-Formel werd ich mich wohl ein andermal widmen..
09.10.2014, 19:53	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja - indem du es einfach davor schreibst
09.10.2014, 19:54	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wenn a z.b. bei 3x³+...+... ist... dann muss ich es vorher ausklammern oder?
09.10.2014, 19:58	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall müsstest du halt eine Kubische Gleichung lösen. Das heißt eine Nullstelle erraten und dann eine Polynomdivision durchführen.
09.10.2014, 19:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
"davor" schreiben ist ein wenig schwach. Wie BeStud richtig meinte ist ausklammern der richtige Begriff.
09.10.2014, 20:07	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok - danke Dopap, da war ich wirklich etwas "platt" in meiner Formulierung. Natürlich steckt ein ausklammern dahinter.
09.10.2014, 20:32	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
also bereits vor Bildung der Linearfaktoren den Koeffizienten ausklammern damit vor dem höchsten Grad der Koeffizient "1" steht?
09.10.2014, 20:43	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du gerne machen. Es bleibt sich gleich, wenn du dein Term = 0 setzt, und die Nullstellen bestimmst. Dann kannst ja durch den Koeffizienten dividieren und es bleibt der selbe Term über, als wenn du ausgeklammert hättest. Dann musst nur in der Linarfaktorzerlegung die Zahl davor schreiben, durch die du dividierst hast. Das ist nun doch wieder "platt" ausgedrückt. Mathematisch klammerst du aus und bestimmst dann die Linearfaktoren. Naja - also doch am besten ausklammern, dann ist die Gefahr nicht gegeben, dass du dein Koeffizient vergisst.
09.10.2014, 21:13	BeStud	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen vielen Dank für deine Hilfe jetzt verstehe ich wenigstens die Linearfaktorenzerlegung wieder und kann damit Nullstellen bestimmen. In nächster Zeit werde ich mich dennoch wohl oder übel mit dem Satz von Vieta bzw. der pq Formel auseinandersetzen müssen...

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