Beweis durch vollständige Induktion

Neue Frage »

sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion
Hallo,

ich habe folgende Fragestellung:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass



Mir fehlt der Ansatz, ich hatte mir überlegt, dass:



sein müsste, aber so komme ich zu keinem Ergebnis.

Könntet ihr mir einen kleinen Anstoß geben?

Besten Dank!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch vollständige Induktion
Zitat:
Original von sarrymast

Mir fehlt der Ansatz, ich hatte mir überlegt, dass:



sein müsste, aber so komme ich zu keinem Ergebnis.



Das ist so ja auch nicht richtig.
Arbeite doch erstmal die Schritte der vollständigen Induktion ab.

Wo ist dein Induktionsanfang und alles was noch dazu gehört? Daran kannst du dich doch erstmal entlang hangeln.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Den Induktionsanfang hatte ich versucht:

A(1) =

kann ja aber nicht sein. Was mache ich falsch?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Faktor kommt in deinem Produkt ja auch nicht vor.

Kennst du die Notation mit dem Produktzeichen?
Ich würde dir erstmal empfehlen, dass du das obige Produkt damit kompakt aufschreibst.
Damit lässt sich eigentlich auch leichter und übersichtlicher arbeiten.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das große pi? Also wie das Sigma für Summen aber für Produkte?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meine ich.

 
 
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:



?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Nun führe den Induktionsanfang durch.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

A(2)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und? Ist der Induktionsanfang nun geglückt oder nicht?
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

also ja, ist korrekt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Ich wollte einfach nur darauf hinweisen, dass du ruhig dazu auch eben einen Satz schreiben kannst, oder zumindest zusammenfassen könntest.

Formuliere nun die Induktionsvoraussetzung und führe dann den Induktionsschritt durch.
Um den Induktionsschritt zu beenden benötigst du an irgendeiner Stelle die Induktionsvoraussetzung.

Das ist zum Beispiel das woran es an deiner ersten Rechnung gescheitert ist.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich davon ausgehen kann, dass A(n) wahr ist, aufgrund dessen, dass A(2) wahr ist, dann folg daraus, dass auch A(n+1) wahr ist, also:



ist das richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so wie du es aufschreibst.
Deine Notation mit dem Produktzeichen ist hier ein fehlgeschlagen.

Das Produkt wird natürlich immer noch über



gebildet.
Nur das "Ende" verschiebt sich um 1 nach hinten.

Die Gleichheit fällt bei dir auch vom Himmel.
Nur weil du weißt, dass dies dein Ergebnis seien wird rechtfertigt es nicht, dass du es einfach hinschreibst.

Ich finde es so aufzuschreiben auch immer recht verwirrend für einen selbst.
Deshalb würde ich das Ergebnis erstmal gar nicht hinschreiben sondern durch Umformungsschritte versuchen dorthin zu gelangen.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »



So?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, könnte jetzt aber auch nur ein Tippfehler sein.
Schau dir das nochmal genau an.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, jetzt hast du es nur schlimmer gemacht.

Den letzten Faktor hast du ja schon "rausgezogen".

Das ist ja gerade

Es geht darum, dass der Laufindex k ist und du im Produkt auch n schreibst. Das ist natürlich falsch.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Also:



?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Was können wir nun tun?
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

durch ersetzen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ja die Induktionsvoraussetzung.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »



So?

Und dann:



?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kürzen und zusammenfassen nicht vergessen.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchtest doch diese Form hier erreichen:



Kürze (n+1) und fasse im Zähler zusammen. Dann kannst du nochmal kürzen.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »



smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei ausmultiplizieren im Nenner eigentlich unnötig ist.

Damit wäre der Induktionsschritt vollbracht.
sarrymast Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe Gott

Schönen Abend noch Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »