Partialbruchzerlegung

10.10.2014, 10:02

Tauwin

Partialbruchzerlegung

Edit (mY+): Bitte von Hilfeersuchen, wo und wann auch immer, abzusehen. geholfen wird ja sowieso, daher sind solche Bitten unnötig!

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe eine grundsätzliche Frage zu der folgenden Aufgabe.

Aufgabenstellung:
Integriere folgende echt gebrochen rationale Funktion.

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{1}{x^6-3x^4+3x²-1}}dx \end{eqnarray*}$

Schritt 1:
Zerlegung in Linearfaktoren mittels Polynomdivision und quadratischer Ergänzung.

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{1}{x^6-3x^4+3x²-1}}dx = \int{\frac{1}{(x+1)³ \cdot (x-1)³}} dx \end{eqnarray*}$

Schritt 2:
Aufstellung des Ansatzes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+1)³ \cdot (x-1)³} = \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x+1)^3} + \frac{D}{(x-1)} + \frac{E}{(x-1)^2} + \frac{F}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

Schritt 3: Gleichung bruchfrei machen.

$\begin{eqnarray*} 1 = A(x+1)²(x-1)³ + B(x+1)(x-1)³ + C(x-1)³ + D(x+1)³(x-1)² + E(x+1)³(x-1) + F(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

Schritt 4: Um die Klammern aufzulösen würde ich jetzt die binomischen Formeln zu Hilfe nehmen.

Meine Ideen:
Nun meine Frage: Ist der Koeffizientenvergleich ratsam um diese Aufgabe zu lösen? In meinen Augen führt das zu einer wirklich unübersichtlichen Aufgabe und mich beschleicht das Gefühl, dass es vielleicht einfacher geht und ich es nicht sehe.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Grüße

Christian

PS: Leider habe ich den Beitrag im falschen Forum erstellt. Ich ging davon aus, dass die Auswahl LaTeX sich darauf bezog, ob ich den Editor zur Erstellung nutzen möchte. Nun steht meine Frage wie schön erwähnt im falschen Unterforum. :-/

10.10.2014, 10:43

tmo

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Eine Möglichkeit die Partialbruchzerlegung anders zu berechnen:

$\begin{align*} \frac{2}{(x+1)^3(x-1)^3} = \frac{1+x + 1-x}{(x+1)^3(x-1)^3} = \frac{1}{(x+1)^2(x-1)^3} - \frac{1}{(x+1)^3(x-1)^2} \end{align*}$

Das könntest du jetzt sukzessive so weitermachen, bis du die gewünschte Form erreicht hast. Ob das schneller geht bezweifel ich. Aber es hat evtl. den Vorteil, dass man daraus sogar (ich habs jetzt nicht gemacht, die bestimmt langwierige Rechnung bleibt dir überlassen Big Laugh

) eine Rekursionsformel für die Partialbruchzerlegungen von $\begin{align*} \frac{1}{(x+1)^m(x-1)^n} \end{align*}$ gewinnen könnte (Offenbar tauchen dabei 2er-Potenzen im Nenner auf).

Wenn es dir jedoch nur um das Integral geht, könnte man auch noch folgenden Weg einschlagen:

$\begin{align*} \frac{1}{(x^2-1)^3} = \frac{1-x^2+x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-1}{(x^2-1)^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{2x}{(x^2-1)^3} \end{align*}$ .

Der hintere Summand kann mit partieller Integration auf das Integral $\begin{align*} \int \frac{1}{(x^2-1)^2} dx \end{align*}$ zurückgeführt werden, was ja sowie schon im ersten Summand zu berechnen ist. Das kann man dann wiederholen und das Integral dann auf $\begin{align*} \int \frac{1}{x^2-1} dx \end{align*}$ zurückführen, was man dann leicht berechnen kann. Auch hier fällt wieder der rekursive Zugang auf, man gewinnt eine Rekursionsformel für $\begin{align*} \int \frac{1}{(x^2-1)^n} dx \end{align*}$ .

10.10.2014, 10:53

Tauwin

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Danke dir erst einmal für die Erklärung. Muss jetzt los, aber heute Abend mache ich mal schlau.

Grüße :-)

10.10.2014, 11:48

HAL 9000

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Anmerkung

Zitat:

Original von tmo
Wenn es dir jedoch nur um das Integral geht, könnte man auch noch folgenden Weg einschlagen:

$\begin{align*} \frac{1}{(x^2-1)^3} = \frac{1-x^2+x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-1}{(x^2-1)^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{2x}{(x^2-1)^3} \end{align*}$ .

Der hintere Summand kann mit partieller Integration auf das Integral $\begin{align*} \int \frac{1}{(x^2-1)^2} dx \end{align*}$ zurückgeführt werden, was ja sowie schon im ersten Summand zu berechnen ist. Das kann man dann wiederholen und das Integral dann auf $\begin{align*} \int \frac{1}{x^2-1} dx \end{align*}$ zurückführen, was man dann leicht berechnen kann. Auch hier fällt wieder der rekursive Zugang auf, man gewinnt eine Rekursionsformel für $\begin{align*} \int \frac{1}{(x^2-1)^n} dx \end{align*}$ .

Völlig analog kann man übrigens auch bei dem nah verwandten Integral $\begin{align*} \int \frac{1}{(x^2+1)^n} ~ \dd x \end{align*}$ vorgehen:

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