Beweis einer Aussage in der Mengenlehre

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10.10.2014, 15:53	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Aussage in der Mengenlehre Meine Frage: Hallo zusammen, ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe bei der ich einen Beweis aufstellen soll zu einer Aussage aus der Mengenlehre. Ich stehe hier gerade komplett auf dem Schlauch um ehrlich zu sein und würde mich über Anregung bezüglich eines Ansatzes sehr freuen. Ich bitte euch nicht darum die Aufgabe für mich zu lösen - das würde ich gerne selber schaffen . Folgende Aufgabe: A1, A2, A3 und B1, B2, B3 seien Mengen. Wenn $\begin{eqnarray} A1 \subseteq B1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A2 \subseteq B2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A3 \subseteq B3 \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} ((A1 \cup A2) \cup A3) \subseteq ((B1 \cup B2) \cup B3) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz: Leider gar keiner ich weiß überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll und würde mich über Anregungen und Tipps freuen. MfG
10.10.2014, 15:58	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine Inklusion zeigen willst, dann musst du nur beweisen, dass alle Elemente, die in der Vereinigung deiner A's liegen, auch in der Vereinigung der B's drin sein müssen. Dazu kannst du dann wunderbar die Angaben verwenden Als ersten Schritt solltest du dir überlegen, wann ein x in der Vereinigung der A's liegt und dann, warum es auch in der Vereinigung der B's liegen muss Lg kgV PS. Ich verschiebe dich mal ins passende Unterforum
10.10.2014, 16:06	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Antwort Dann Versuche ich das von dir erwähnte mal umzusetzen. Also ein x liegt dann in der Vereinigung aller A's wenn es mindestens Teilmenge eines der A's ist. Und wenn wir davon Ausgehen dass A1 Teilmenge von B1 ist, A2 Teilmenge von B2 ist und A3 Teilmenge von B3 ist dann muss es auch mindestens in x in einer der Mengen der B's geben. Ist das der vollständige Beweis? Und wenn ja gibt es eine Möglichkeit den Mathematisch aufzuschreiben?
10.10.2014, 16:10	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist der vollständige Beweis Ein bisschen mathematischer geht das schon noch( ), aber die Argumentation ist schon nicht mehr zu verbessern Wenn man es mathematisch angeht, dann beginnt man so: $\begin{eqnarray} \forall x\in(A_1\cup A_2\cup A_3):\exists i\in\{1,2,3\}:x\in A_i \end{eqnarray}$ Das wäre jetzt der Satz, dass jedes x aus der Vereinigung in mindestens einem der A's liegt. Jetzt du: formuliere mal mit Quantoren, dass alle A's Teilmenge von einem der B's sind. Danach kannst du nur noch folgern, dass x in einem der B's liegt und damit in der Vereinigung
10.10.2014, 16:21	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ich muss zugeben von Quantoren habe ich noch nichts gehört, weder im Mathe LK noch in der Uni deswegen denke ich, dass ich ohne eine solche Schreibweise auskommen sollte. Mein Fertiger Beweis würde in etwa so Aussehen: Da gilt, $\begin{eqnarray} A1 \subseteq B1, A2 \subseteq B2, A3 \subseteq B3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in (A1 \cup A2 \cup A3) \end{eqnarray}$ , so muss auch gelten $\begin{eqnarray} x \in (B1 \cup B2 \cup B3) \end{eqnarray}$ . Ist dem noch etwas hinzuzufügen oder würde das als Beweis reichen?
10.10.2014, 16:28	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würde ich aber das $\begin{eqnarray} x \in (A1 \cup A2 \cup A3) \end{eqnarray}$ voranstellen, etwa so: $\begin{eqnarray} x \in (A1 \cup A2 \cup A3) \end{eqnarray}$ , also x in $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} A1 \subseteq B1, A2 \subseteq B2, A3 \subseteq B3 \end{eqnarray}$ gilt, und , so muss auch gelten, dass x in $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B_3 \end{eqnarray}$ liegt, also $\begin{eqnarray} x \in (B1 \cup B2 \cup B3) \end{eqnarray}$ .
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10.10.2014, 16:33	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das macht weitaus mehr Sinn. Vielen Dank für deine Hilfe
10.10.2014, 16:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen PS. in das "mathematische" kommt man mit der Übung immer besser hinein
11.10.2014, 20:58	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiche Aufgabe Mengenlehre ( Rechenweg)
12.10.2014, 10:04	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathe-Maus: danke für den Hinweis Hypestar und LUTSchan sind aber nicht identisch. Selbe Aufgabe, andere User

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