Ungleichung beweisen durch vollständige Induktion

10.10.2014, 17:02	sarrymast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen durch vollständige Induktion Hallo, folgende Sache ist gefordert: Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n_{0}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{\sqrt{2} }+\frac{1}{\sqrt{3} }+...+\frac{1}{\sqrt{n} }>\sqrt{n} \end{eqnarray}$ gilt, und zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Ungleichung auch für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n>n_{0} \end{eqnarray}$ gilt. Ich habe nun also $\begin{eqnarray} n_{0}=2 \end{eqnarray}$ bestimmt, Also ist mein Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} A(2)=\sum\limits_{k=1}^2 \frac{1}{\sqrt{k} }=1+\frac{1}{\sqrt{2} } = 1,7071 > 1,4142 = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Die Aussage ist wahr für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ Wenn ich davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ wahr ist, würde daraus ja folgen, dass: $\begin{eqnarray} A(n+1)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k} }= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray}$ Nun zu meinem Problem: Bei einer Gleichung würde man ja den Teil $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ Durch die andere Seite der Gleichung $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ ersetzen, nun geht das bei einer Ungleichung ja nicht, da die beiden Teile nicht gleich sind. Also muss man, so wie ich es verstanden habe eine Umformung nach folgendem Schema vornehmen (nicht genau so, aber ungefähr): $\begin{eqnarray} A(n+1)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k} }= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } = ... > ... > ... = \sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ Nur leider finde ich keine pasende Termumformung für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray}$ Danke schonmal für die Hilfe!
10.10.2014, 17:39	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen durch vollständige Induktion $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} }+\frac{1}{\sqrt{n+1} } > \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray}$ sollte zum Ziel führen.
10.10.2014, 18:46	sarrymast	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} }+\frac{1}{\sqrt{n+1} } > \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray}$ verstehe ich, aber ich scheitere daran, das ganze mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ in Verbindung zu bringen. oder geht das so: $\begin{eqnarray} A(n+1)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k} } = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } >\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n} + \sqrt{n+1} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ ? EDIT: Hab gerade selbst gemerkt, dass das keinen Sinn macht
10.10.2014, 18:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass man das benötigte $\begin{align} \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{align}$ nicht sofort "sieht", ist klar. Aber man könnte ja versuchen, diese nachzuweisende Ungleichung solange äquivalent umzuformen, bis die Sache klar wird.

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