Erzeugnis einer nicht-leeren Menge ist Unterraum

10.10.2014, 20:33

hollisch

Erzeugnis einer nicht-leeren Menge ist Unterraum

Nabend liebes Forum!

Ich stecke grad bei einem Beweis fest. Zu beweisen ist folgende Aussage:

Das Erzeugnis $\begin{eqnarray*} E(\vec x_1,\vec x_2,\ldots ,\vec x_k) \end{eqnarray*}$ einer nicht-leeren Menge von Vektoren ist ein Unterraum.

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} E(\vec x_1,\vec x_2,\ldots,\vec x_k)=\left\{ \sum_{i=1}^k \lambda_i\vec x_i \middle| \lambda_i\in \mathbb R,i=1,2,\ldots,k\right\}\ \end{eqnarray*}$

Weiterhin wurde definiert, dass ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine nicht-leere Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt:

$\begin{eqnarray*} \vec x,\vec y\in U \implies \vec x+\vec y\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec x\in U\implies \lambda \vec x \in U,\ \forall \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Also ich steh völlig auf dem Schlauch und hab die Vermutung, dass die Lösung gar nicht mal sooo schwer ist. Ich muss im Prinzip das Erzeugnis auf die beiden Eigenschaften hin überprüfen (oder liege ich da falsch?). Ich weiß nur nicht wie ich das anstellen soll Hammer

10.10.2014, 20:57

bijektion

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Zitat:

Ich muss im Prinzip das Erzeugnis auf die beiden Eigenschaften hin überprüfen (oder liege ich da falsch?). Ich weiß nur nicht wie ich das anstellen soll Hammer

Ja.
Nimm doch mal zwei Vektoren aus dem Erzeugnis, wie schauen die aus?

10.10.2014, 21:36

hollisch

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z.B. $\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=1}^k\vec x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\sum_{i=1}^k2\vec x_i \end{eqnarray*}$

10.10.2014, 21:45

bijektion

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Nein, du darfst keine speziellen wählen.
Sei $\begin{eqnarray*} M=\left\{x_1,\dots ,x_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Menge, dann ist $\begin{eqnarray*} U:=\mathrm{span}(M)=E(M)=\left\{ \sum\limits_{k=1}^n \lambda_k \cdot x_k | \lambda_k \in \mathbb{K} \right\} \end{eqnarray*}$ , das hast du ja auch so.
Wählen wir zwei Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , etwa $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_k \cdot x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\sum\limits_{k=1}^n \mu_k \cdot x_k \end{eqnarray*}$ mit beliebigen $\begin{eqnarray*} \lambda_j,\mu_j\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ ).

Jetzt bilde die Summe $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ , dann tauchen Faktoren der Form $\begin{eqnarray*} \lambda_j+\mu_j \end{eqnarray*}$ auf, aber da $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, ist sicherlich auch $\begin{eqnarray*} \lambda_j+\mu_j\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .
Analog gehst du bei Multiplikation mit einem Skalar vor.

EDIT: Auch wenn es eigentlich egal ist, du hast scheinbar den speziellen Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

10.10.2014, 22:06

hollisch

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AHHHHHH