Lineare Algebra, vollständige Induktion, Induktionsbeweis

10.10.2014, 21:32	sevenelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra, vollständige Induktion, Induktionsbeweis Hey, die Aufgabe besteht darin, zu beweisen, dass für alle n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{i} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq {\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: n=1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{i} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} {\sqrt{1}} \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 Induktionsvoraussetzung: Für n=k gelte: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{i} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq {\sqrt{k}} \end{eqnarray}$ Induktionsbehauptung: Für n=k+1 gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^k+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{i} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq {\sqrt{k+1}} \end{eqnarray}$ Doch wie lautet nun der Induktionsbeweis für diese Aufgabe ? Danke schonmal im Voraus
10.10.2014, 21:36	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray}$ gegeben, jetzt nutze, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{i}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray}$ gilt.
10.10.2014, 21:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
war heute schon mal da ... Muss eigentlich jeder Kommilitone seinen eigenen Thread eröffnen? Hier geht's weiter: Ungleichung beweisen durch vollständige Induktion

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