Zahlentheorie, Beweis zum ggT

11.10.2014, 01:02	DerHilfeBrauchende	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie, Beweis zum ggT Meine Frage: Die Aufgabe lautet: Sei: a, b, c ? ? Beweisen Sie, dass ggT(a, b) = ggT(a, b + ca) gilt. Kann jemand das bitte beweisen und dabei veranschaulichen, wie er das gemacht hat? - Ich wäre dankbar. Meine Ideen: Ich hätte die Idee mit einer vollständigen Induktion das zu lösen, ist aber extrem schwierig weil wir 3 Unbekannte haben, aber es könnte 3-Dimensional vielleicht funktionieren, ich bin mir aber nicht sicher. Zellerli: Titel angepasst
11.10.2014, 01:04	DerHilfeBrauchende2	Auf diesen Beitrag antworten »
Fußnote Die beiden ? ? sollen eigentlich die Menge der natürlichen Zahlen darstellen.
11.10.2014, 02:06	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo DerHilfeBrauchende, Bitte wähle das nächste mal einen aussagekräftigen Titel, dann findest du auch leichter Hilfe. Ich habe den Titel angepasst.
11.10.2014, 02:15	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit einem Widerspruchsbeweis? Sei $\begin{eqnarray} g = \mathrm{ggT}(a,b) \end{eqnarray}$ . Wir stellen zunächst fest, dass dann $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} b + c \cdot a \end{eqnarray}$ teilt. Angenommen nun, es existiere eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g' > g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ teilt sowohl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} b + c \cdot a \end{eqnarray}$ . Dann...? Wie geht's weiter?
11.10.2014, 08:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte einfach zeigen, dass $\begin{align} a,b \end{align}$ und $\begin{align} a,b+ca \end{align}$ die selben gemeinsamen Teiler haben. Dann ist klar, dass auch der Größte übereinstimmt.

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