Extra Spezial Untergruppen

11.10.2014, 11:15

Automizer

Extra Spezial Untergruppen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich versuch gerad nen Beweis über die Eigenschaft von extra spezialen Untergruppen einer p-Gruppe zu verstehen. Die Aussage ist

Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ eine Extra Speziale Untergruppe einer p-Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , also eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C_{p^n} \cong Z(E)=\Phi(E)=E' \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Wenn nun gilt $\begin{eqnarray*} [G,E] \le Z(E) \end{eqnarray*}$ , dann soll

$\begin{eqnarray*} G=EC_G(E) \end{eqnarray*}$
gelten.

Meine Ideen:
Die Beweisstruktur sieht vor

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \cong E/Z(E) \end{eqnarray*}$

zu zeigen, wobei die Gruppenoperation durch $\begin{eqnarray*} (\alpha,eZ(E)) \mapsto \alpha(e)Z(E) \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Die Einbettung $\begin{eqnarray*} E/Z \hookrightarrow \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \end{eqnarray*}$ konnte ich schon zeigen. Jedoch weiß ich nicht, warum, wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \cong E/Z(E) \end{eqnarray*}$ gilt, die Aussage folgt. Ok wir hätten dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \cong E/Z(E) =E/C_G(E)\cap E \cong C_G(E)E/C_G(E) \end{eqnarray*}$ ,

aber ich weiß auch nicht, warum das dann zum Ziel führt.

Der Beweis setzt dann so fort:
Man nimmt sich ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \end{eqnarray*}$ und eine Basis $\begin{eqnarray*} \{x_iZ(E) \mid 1 \le i \le m \} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E/Z(E) \end{eqnarray*}$ und schlussfolgert dann

$\begin{eqnarray*} [x_i,\alpha]=z^{m_i} \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} 0 \le m_i<p \end{eqnarray*}$ . Was soll dieser Kommutator $\begin{eqnarray*} [x_i,\alpha] \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Schließlich wird geschlussfolgert, dass jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch die $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ 's mit $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ bestimmt wird und, dass daraus $\begin{eqnarray*} |\operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E))|\le p^m=|E/Z(E)| \end{eqnarray*}$ folgt, was ich auch nicht so ganz nachvollziehen kann.

Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

LG

11.10.2014, 12:21

tmo

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Ich würde sagen wir fangen erstmal damit an einzusehen, warum die Isomorphie die Behauptung impliziert.

Die Isomorphie besagt ja eigentlich: Die Automorphismen von $\begin{align*} E \end{align*}$ , die trivial auf $\begin{align*} E/Z(E) \end{align*}$ operieren, sind genau die inneren Automorphismen.

Nun folgt aus der Vorraussetzung, dass $\begin{align*} E \end{align*}$ Normalteiler ist, also induziert der zu $\begin{align*} g \in G \end{align*}$ gehörende innere Automorphismus aus $\begin{align*} Aut(G) \end{align*}$ einen Automorphismus auf $\begin{align*} Aut(E) \end{align*}$ . Dieser operiert trivial auf $\begin{align*} E/Z(E) \end{align*}$ (nachprüfen!), ist also innerer Automorphismus von $\begin{align*} E \end{align*}$ .

Das bedeutet nichts anderes als: Zu $\begin{align*} g \in G \end{align*}$ gibt es ein $\begin{align*} e \in E \end{align*}$ mit

$\begin{align*} gxg^{-1} = exe^{-1} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in E \end{align*}$ .

Daraus folgt aber sofort $\begin{align*} e^{-1}g \in C_G(E) \end{align*}$ , also $\begin{align*} g \in EC_G(E) \end{align*}$ .

Soweit klar?

11.10.2014, 13:04

Automizer

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Hey tmo,
danke für deine Antwort. Ich glaub ich habs nachvollzogen.
Sei $\begin{eqnarray*} Inn(E) \cong E/Z(E) \cong \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt und $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Konjugation mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} E \triangleleft G \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt für alle $\begin{eqnarray*} xZ(E) \in E/Z(E) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} [g,x] \in Z(E) \end{eqnarray*}$ wegen der Voraussetzung. Also operiert jeder innere Automorphismus von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ trivial auf $\begin{eqnarray*} E/Z(E) \end{eqnarray*}$ . Damit folgt durch die Isomorphie, dass durch jeden inneren Automorphismus von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein innerer Automorphismus von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ induziert wird. Also erschließt sich die Behauptung.
Ist das richtig soweit?

OK, bleibt nur noch die Isomorphie zu zeigen. Weißt du was mit diesem Kommutator gemeint ist?

Danke und LG

12.10.2014, 18:52

tmo

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Bist du dir sicher, dass nicht noch n=1 gefordert wird, also dass das Zentrum p Elemente hat? So kenne ich die Definition einer extraspeziellen p-Gruppe und dann wäre der Beweis klar.

Aber mit allgemeinem n sehe ich das irgendwie noch nicht so ganz verwirrt

14.10.2014, 10:16

Automizer

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Also in der Definition, die ich hab (ASCHBACHER), steht nur drin, dass extra special group eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist mit

$\begin{eqnarray*} G'=Z(G)=\Phi(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ ist zyklisch. (*)

Wiki sagt ja auch, dass das Zentrum der Ordnung p ist. Naja ich mein vielleicht folgt ja aus (*), dass $\begin{eqnarray*} Z(G) \cong C_p \end{eqnarray*}$ .

Aber danke für deine Überlegungen.
LG

14.10.2014, 10:19

jester.

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Moeglicherweise ist das gemeint? http://en.wikipedia.org/wiki/Special_gro...group_theory%29

14.10.2014, 13:46

tmo

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Dort wird ja gefordert, dass das Zentrum auch noch elementarabelsch ist. Aber elementarabelsch und zyklisch impliziert ja schon, dass es $\begin{align*} C_p \end{align*}$ sein muss.

Ich vermute mal, dass wir tatsächlich nur die Vorraussetzungen des Threaderstellers zur Verfügung haben. Aber mir bleibt dann der Schritt, wo der Kommutator eingeführt wird, weiterhin unklar. verwirrt

Wenn wir $\begin{align*} Z(E) = C_p \end{align*}$ hätten, so hätten wir ja vermöge $\begin{align*} \alpha(x_i) \in x_iZ(E) \end{align*}$ nur p Möglichkeiten für $\begin{align*} \alpha(x_i) \end{align*}$ und somit wäre klar, dass es nur $\begin{align*} p^m \end{align*}$ solcher Automorphismen gibt.

Aber diese Schreibweise mit dem Kommutator suggeriert ja irgendwie, dass mehr dahinter steckt, wir also die Voraussetzung nicht haben.

15.10.2014, 10:41

Automizer

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Hey ihr beiden,

Das Zentrum ist übrigens bei miener Definition von extra special immer der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aus folgendem Grund.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} [g,h] \in Z(\langle x,y \rangle ) \quad \Longrightarrow \quad [g^n,h^n]=[g,h]^{nm} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Es folgt nun:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ extra special (also $\begin{eqnarray*} G'=Z(G)=\Phi(G) \cong C_{p^n} \end{eqnarray*}$ ). Dann gilt

$\begin{eqnarray*} g^p \in G^pG'=\Phi(G)=Z(G)=G' \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} 1=[g^p,h]=[g,h]^p \end{eqnarray*}$ und damit hat jedes Element aus $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Also wegen $\begin{eqnarray*} G'=Z(G) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ elementar abelsch und wegen der Voraussetzung zyklisch und damit hat es Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Aber warum haben wir bei deiner Überlegung wirklich $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ verschiedene Automorphismen?

Übrigens ich hab in der Lektüre, wo das Lemma steht, noch die Definition für den Kommutator gefunden. Sei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Vektor und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus. Dann ist
$\begin{eqnarray*} [v,\alpha]:=\alpha(v)-v \end{eqnarray*}$ .

LG

15.10.2014, 10:48

tmo

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Ah ok, genau das hatte mir gefehlt Freude

Der Rest ist dann eigentlich klar.

Nach Voraussetzung an $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ (Operiert trivial auf $\begin{align*} E/Z(E) \end{align*}$ ) gilt $\begin{align*} \alpha(x_i)Z(E) = x_iZ(E) \end{align*}$ oder gleichbedeutend: $\begin{align*} x_i^{-1}\alpha(x_i) \in Z(E) \end{align*}$ .

In der Notation des Beweises ist dann wohl $\begin{align*} [x_i,\alpha] \end{align*}$ statt $\begin{align*} x_i^{-1}\alpha(x_i) \end{align*}$ geschrieben worden.

Wegen $\begin{align*} |Z(E)|=p \end{align*}$ gibt es also für $\begin{align*} \alpha(x_i) \end{align*}$ nur $\begin{align*} p \end{align*}$ Möglichkeiten, nämlich $\begin{align*} \alpha(x_i) \in \{x_iz_1, \dotsc, x_iz_p \} \end{align*}$ , wobei die $\begin{align*} z_i \end{align*}$ die p Elemente des Zentrums sind.
Da $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ aber durch die Werte bei $\begin{align*} x_1, \dotsc, x_m \end{align*}$ eindeutig bestimmt ist, gibt es für $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ nur $\begin{align*} p^m \end{align*}$ Möglichkeiten.

Edit: Kann es sein, dass du noch wissen willst, warum es auch genau p^m solcher Automorphismen gibt und nicht etwa weniger?

Das hast du doch schon quasi selbst gelöst:

Zitat:

Original von Automizer
Die Einbettung $\begin{eqnarray*} E/Z(E) \hookrightarrow \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \end{eqnarray*}$ konnte ich schon zeigen.

Oder mit anderen Worten: Jeder innere Automorphismus von $\begin{align*} E \end{align*}$ ist ja solch ein geeigneter Automorphismus aus $\begin{align*} \operatorname{Stab}_{Aut(E)} (E/Z(E)) \end{align*}$ . Und so wie das $\begin{align*} m \end{align*}$ eingeführt wurde, gibt es ja gerade $\begin{align*} p^m \end{align*}$ innere Auotmorphismen von $\begin{align*} E \end{align*}$ .

15.10.2014, 11:12

Automizer

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Ah super. Ich glau ich habs verstanden.

Danke für eure Hilfe

LG

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