Extra Spezial Untergruppen

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Automizer Auf diesen Beitrag antworten »
Extra Spezial Untergruppen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich versuch gerad nen Beweis über die Eigenschaft von extra spezialen Untergruppen einer p-Gruppe zu verstehen. Die Aussage ist

Sei eine Extra Speziale Untergruppe einer p-Gruppe , also eine Untergruppe mit für irgendein .
Wenn nun gilt , dann soll


gelten.


Meine Ideen:
Die Beweisstruktur sieht vor



zu zeigen, wobei die Gruppenoperation durch definiert ist.

Die Einbettung konnte ich schon zeigen. Jedoch weiß ich nicht, warum, wenn gilt, die Aussage folgt. Ok wir hätten dann

,

aber ich weiß auch nicht, warum das dann zum Ziel führt.

Der Beweis setzt dann so fort:
Man nimmt sich ein und eine Basis von und schlussfolgert dann



für ein . Was soll dieser Kommutator bedeuten?

Schließlich wird geschlussfolgert, dass jedes durch die 's mit bestimmt wird und, dass daraus folgt, was ich auch nicht so ganz nachvollziehen kann.

Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen wir fangen erstmal damit an einzusehen, warum die Isomorphie die Behauptung impliziert.

Die Isomorphie besagt ja eigentlich: Die Automorphismen von , die trivial auf operieren, sind genau die inneren Automorphismen.

Nun folgt aus der Vorraussetzung, dass Normalteiler ist, also induziert der zu gehörende innere Automorphismus aus einen Automorphismus auf . Dieser operiert trivial auf (nachprüfen!), ist also innerer Automorphismus von .

Das bedeutet nichts anderes als: Zu gibt es ein mit

für alle .

Daraus folgt aber sofort , also .

Soweit klar?
 
 
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hey tmo,
danke für deine Antwort. Ich glaub ich habs nachvollzogen.
Sei vorausgesetzt und . Dann ist die Konjugation mit ein Automorphismus von , da . Außerdem gilt für alle auch wegen der Voraussetzung. Also operiert jeder innere Automorphismus von trivial auf . Damit folgt durch die Isomorphie, dass durch jeden inneren Automorphismus von ein innerer Automorphismus von induziert wird. Also erschließt sich die Behauptung.
Ist das richtig soweit?

OK, bleibt nur noch die Isomorphie zu zeigen. Weißt du was mit diesem Kommutator gemeint ist?

Danke und LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du dir sicher, dass nicht noch n=1 gefordert wird, also dass das Zentrum p Elemente hat? So kenne ich die Definition einer extraspeziellen p-Gruppe und dann wäre der Beweis klar.

Aber mit allgemeinem n sehe ich das irgendwie noch nicht so ganz verwirrt
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der Definition, die ich hab (ASCHBACHER), steht nur drin, dass extra special group eine Gruppe ist mit

und ist zyklisch. (*)

Wiki sagt ja auch, dass das Zentrum der Ordnung p ist. Naja ich mein vielleicht folgt ja aus (*), dass .

Aber danke für deine Überlegungen.
LG
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Moeglicherweise ist das gemeint? http://en.wikipedia.org/wiki/Special_gro...group_theory%29
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dort wird ja gefordert, dass das Zentrum auch noch elementarabelsch ist. Aber elementarabelsch und zyklisch impliziert ja schon, dass es sein muss.

Ich vermute mal, dass wir tatsächlich nur die Vorraussetzungen des Threaderstellers zur Verfügung haben. Aber mir bleibt dann der Schritt, wo der Kommutator eingeführt wird, weiterhin unklar. verwirrt



Wenn wir hätten, so hätten wir ja vermöge nur p Möglichkeiten für und somit wäre klar, dass es nur solcher Automorphismen gibt.

Aber diese Schreibweise mit dem Kommutator suggeriert ja irgendwie, dass mehr dahinter steckt, wir also die Voraussetzung nicht haben.
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ihr beiden,

Das Zentrum ist übrigens bei miener Definition von extra special immer der Ordnung aus folgendem Grund.

Es gilt:

für alle

Es folgt nun:

Sei extra special (also ). Dann gilt

. Also und damit hat jedes Element aus Ordnung . Also wegen ist elementar abelsch und wegen der Voraussetzung zyklisch und damit hat es Ordnung .

Aber warum haben wir bei deiner Überlegung wirklich verschiedene Automorphismen?

Übrigens ich hab in der Lektüre, wo das Lemma steht, noch die Definition für den Kommutator gefunden. Sei ein Vektor und ein Endomorphismus. Dann ist
.

LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, genau das hatte mir gefehlt Freude

Der Rest ist dann eigentlich klar.

Nach Voraussetzung an (Operiert trivial auf ) gilt oder gleichbedeutend: .

In der Notation des Beweises ist dann wohl statt geschrieben worden.

Wegen gibt es also für nur Möglichkeiten, nämlich , wobei die die p Elemente des Zentrums sind.
Da aber durch die Werte bei eindeutig bestimmt ist, gibt es für nur Möglichkeiten.

Edit: Kann es sein, dass du noch wissen willst, warum es auch genau p^m solcher Automorphismen gibt und nicht etwa weniger?

Das hast du doch schon quasi selbst gelöst:
Zitat:
Original von Automizer
Die Einbettung konnte ich schon zeigen.


Oder mit anderen Worten: Jeder innere Automorphismus von ist ja solch ein geeigneter Automorphismus aus . Und so wie das eingeführt wurde, gibt es ja gerade innere Auotmorphismen von .
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super. Ich glau ich habs verstanden.

Danke für eure Hilfe

LG
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