vollständige Induktion

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gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion
Meine Frage:
Bei dieser Aufgabe komme ich leider überhaupt nicht vorwärts:
Angenommen, t Element N ist eine natürliche Zahl der Form:


wobei a, b Element N. Zeigen Sie, dass es eine natürliche Zahl n Element N gibt, mit t =

Hinweis:
Nehmen Sie an, die Aussage wäre falsch und wählen Sie b Element N minimal mit der Eigenschaft, dass a >= b
existiert, so dass

keine Quadratzahl ist.
Leiten Sie nun aus der Gleichung mithilfe der (aus der Schule/dem
Vorkurs bekannten) Lösungsformel für quadratische Gleichungen einen Widerspruch her.


Meine Ideen:
Ich verstehe leider gar nicht, was da gemeint ist.

Ich habe versucht, die Formal mit der pq Formel zu lösen und komme auf 2 verschiedenen n, die zudem keine natürlichen Zahlen sind.

Das wäre ja der Beweis, dass die Formel nicht gilt. Sollte nicht eigentlich das Gegenteil bewiesen werden?
gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion
Hat niemand eine Idee hierzu?

Jeder Hinweis ist willkommen.

Durch Einsetzten von Werten für a und b ist offensichtlich, dass t meistens keine Quadratzahl ist, von daher verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.

Versteht jemand die Aufgabenstellung? Was kann damit gemeint sein?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Klassiker schlechthin für die Methode "Vieta Jumping".

P.S.: Es geht nicht darum zu beweisen, dass t eine natürliche Zahl ist - ja, für die meisten a,b ist das nicht der Fall. Es geht darum, dass wenn es eine natürliche Zahl ist, dann ist es auch eine Quadratzahl. Richtig lesen!!!
gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion
Vielen Dank für diesen wichtigen Link, die Aufgabe wurde im Rahmen der ersten Hausübung in Mathe 1 gestellt und ich weiß eigentlich nicht, was sich der Professor dabei gedacht hat, das kann doch keiner.

Trotzdem, bis dahin bin ich auch noch gekommen, obwohl meine Variablen anders benannt waren Augenzwinkern

Aber die Lösung dieser Gleichung kann ich nun nicht mehr nachvollziehen.
X1 = A
Wie kommt man darauf, die pq Formal ergibt etwas ganz anderes.

Wenn ich jetzt mal davon ausgehe, dass X1 tatsächlich A wäre, kann ich mit Vieta x2 ausrechnen, das ist mir wiederum klar:

X2 = kB-A
Auch die anschließenden Fallunterscheidungen und die Schlussfolgerungen daraus kann ich zumindest nachvollziehen, wenn ich auch selber nie darauf gekommen wäre.
Bleibt also die Frage: Warum ist x1=A eine Lösung der Gleichung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach: Die genannte quadratische Gleichung wurde aus durch entsprechende Umstellung entwickelt.

Und weil ja von ausgegangen wurde, ist natürlich eine der -Lösungen der Wert .


Zitat:
Original von gg33jico
und ich weiß eigentlich nicht, was sich der Professor dabei gedacht hat, das kann doch keiner.

Naja "keiner" ... zumindest sehr wenige. Im Wikipedia-Artikel ist ja genannt, dass das 1988 eine Aufgabe der Internationalen Mathematik-Olympiade war - die übrigens damals nur 11 von 268 Schülern vollständig lösen konnten. Augenzwinkern
gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »

Man benennt A also in x um und rechnet mit der Lösung A=x. Hammer

Irgendwie unglaublich. Wieso wird hier nicht die pq Formel verwendet?
Da würde man auf was ganz anderes kommen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gg33jico
Wieso wird hier nicht die pq Formel verwendet?

Wieso wohl heißt die Methode "Vieta Jumping" statt "Mitternachtsspaziergang" ? Big Laugh

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Ich versuche mal, den Kerngedanken hier zusammenzufassen:

ist genau dann Lösung von

,

wenn Lösung der quadratischen Gleichung



ist (ergibt sich durch einfache algebraische Umformung).


Nun wissen wir nach Voraussetzung, dass Lösung von (1) ist - also ist auch Lösung von (2). Nach Vieta wissen wir, dass dann auch Lösung von (2) ist, also ist auch Lösung von (1), was also zur Gültigkeit von



führt. Und daraus wird dann im indirekten Beweis der nötige Widerspruch gebastelt.
gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »

Das Prinzip habe ich verstanden, obwohl ich nie selber darauf gekommen wäre.

Aber eigentlich war doch dann die Umformung der Gleichung in


nicht notwendig.

Man hätte auch gleich bei


bleiben können.

Dann wäre A1=A gewesen und A2=kB-A

Der Rest des Beweises wäre dann gleich geblieben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst es nicht zu kapieren: Wenn ich die quadratischen Gleichung



betrachte, dann kann ich doch auch nicht einfach sagen: "1 ist eine Lösung dieser Gleichung, also kann ich doch statt (*) auch gleich die Gleichung



betrachten, die als zweite Lösung die 2 besitzt". Auf dieser Ebene bewegt sich deine Argumentation von eben. Finger1


Oder nochmal: ist ein fester Wert im Beweisverlauf, den du nicht plötzlich zur Variable einer quadratischen Gleichung mit mehreren Lösungen umdeklarieren kannst - diese Denkart ist ganz einfach unmathematischer Unfug.
gg33jico Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das war wohl mein Denkfehler, ich hatte A auch als eine Art Variable angesehen aber A unterliegt ja bestimmt Voraussetzungen und kann deswegen nicht als Variable betrachtet werden.
Mit x ist die Sache besser beschrieben. Jedenfalls danke für die nützlichen Tipps.
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