Limes des Abstandes zweier Folgen gleich dem Abstand zwischen den Grenzwerten der Folgen? |
11.10.2014, 22:02 | perplexer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Limes des Abstandes zweier Folgen gleich dem Abstand zwischen den Grenzwerten der Folgen? Ich habe die Vermutung, dass Folgendes gilt: (X , d) sei metrischer Raum und Xn , Yn folgen in X , dann gilt : Meine Ideen: Naja, Ideen habe ich keine wirklich, aber dieser kleine Kniff würde mir sehr hilfreich sein, weil ich beweisen muss, dass: |
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11.10.2014, 22:55 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Vermutung stimmt leider nicht. Sei z.B. die diskrete Metrik, also Dann ist |
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11.10.2014, 23:01 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, doch die Vermutung ist richtig. In deinem Gegenbeispiel sind die Folgen nicht konvergent. Beachte, dass du nicht die Standardmetrik hast. Möchtest du weitermachen? |
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11.10.2014, 23:08 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, sorry. Da war ich etwas zu voreilig. Wenn du möchtest, kannst du gern weitermachen. |
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11.10.2014, 23:17 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist ja schon spät
Ok. Also zunächst einmal solltest du die Voraussetzung so anpassen, dass und überhaupt konvergent sind. Ansonsten kann man die Gleichung von oben so ja überhaupt nicht hinschreiben. Weiter würde ich zur Vereinfachung (damit der Beweis übersichtlicher wird) folgende Festlegung empfehlen: Wir möchten also zeigen, dass . Das macht man am besten einfach über die Definition. Was bedeutet das zu Zeigende in Quantoren ? Edit: Die Aussage an sich ist übrigens sehr wichtig (sie bedeutet, dass die Metrik bezüglich der von ihr selbst induzierten Topologie auf dem Produktraum stetig ist). Für das zu zeigende ist sie aber ansich ein Umweg. Du kannst diesen Weg natürlich trotzdem gehen. |
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11.10.2014, 23:34 | perplexer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bedeutet: |
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11.10.2014, 23:56 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht ganz richtig. Beachte, dass keine Folge in , sondern in ist. Richtig wäre also . Wir nehmen uns also her. Um abzuschätzen, würde ich den Term in den Betrag einmogeln und dann mit den Dreiecksgleichungen von und herumspielen. |
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12.10.2014, 00:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage wurde übrigens auch hier gestellt. |
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12.10.2014, 00:39 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, Che. Ist ja abenteuerlich, was da an Rechtfertigung für ein Gegenbeispiel gebracht wird.
Edit: Ok, sehe gerade, das wurde schon kommentiert. |
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