Limes des Abstandes zweier Folgen gleich dem Abstand zwischen den Grenzwerten der Folgen?

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perplexer Auf diesen Beitrag antworten »
Limes des Abstandes zweier Folgen gleich dem Abstand zwischen den Grenzwerten der Folgen?
Meine Frage:
Ich habe die Vermutung, dass Folgendes gilt:

(X , d) sei metrischer Raum und Xn , Yn folgen in X , dann gilt :



Meine Ideen:
Naja, Ideen habe ich keine wirklich, aber dieser kleine Kniff würde mir sehr hilfreich sein, weil ich beweisen muss, dass:

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung stimmt leider nicht.

Sei z.B. die diskrete Metrik, also


Dann ist
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

doch die Vermutung ist richtig.

In deinem Gegenbeispiel sind die Folgen nicht konvergent. Beachte, dass du nicht die Standardmetrik hast.

Möchtest du weitermachen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups Oh, sorry. Da war ich etwas zu voreilig.

Wenn du möchtest, kannst du gern weitermachen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja schon spät Augenzwinkern

Zitat:
Wenn du möchtest, kannst du gern weitermachen.


Ok.

Also zunächst einmal solltest du die Voraussetzung so anpassen, dass und überhaupt konvergent sind. Ansonsten kann man die Gleichung von oben so ja überhaupt nicht hinschreiben. Weiter würde ich zur Vereinfachung (damit der Beweis übersichtlicher wird) folgende Festlegung empfehlen:

Wir möchten also zeigen, dass .
Das macht man am besten einfach über die Definition. Was bedeutet das zu Zeigende in Quantoren ?


Edit: Die Aussage an sich ist übrigens sehr wichtig (sie bedeutet, dass die Metrik bezüglich der von ihr selbst induzierten Topologie auf dem Produktraum stetig ist). Für das zu zeigende ist sie aber ansich ein Umweg. Du kannst diesen Weg natürlich trotzdem gehen.
perplexer Auf diesen Beitrag antworten »

bedeutet:


 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht ganz richtig. Beachte, dass keine Folge in , sondern in ist. Richtig wäre also


.

Wir nehmen uns also her. Um abzuschätzen, würde ich den Term in den Betrag einmogeln und dann mit den Dreiecksgleichungen von und herumspielen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage wurde übrigens auch hier gestellt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Che.

Ist ja abenteuerlich, was da an Rechtfertigung für ein Gegenbeispiel gebracht wird.

Zitat:
Das Problem ist hier, dass dem Limes hier jeweils die Standardmetrik zugrundeliegt, obwohl wir uns in einem anderen metrischen Raum bewegen.

geschockt

Edit: Ok, sehe gerade, das wurde schon kommentiert.
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