Differentialgeometrie, Differential

12.10.2014, 13:29	dicath	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie, Differential Hallo, ich verstehe folgende Definition nicht: Sei $\begin{eqnarray} (S,\varphi) \end{eqnarray}$ regulär parametrisiertes Flächenstück, $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \in C^{\infty}(S,R^{n}) \end{eqnarray}$ . Das Differential $\begin{eqnarray} dpf \end{eqnarray}$ von f in p ist definiert durch $\begin{eqnarray} dpf: Tps \to R^{n}, dpf= (f \circ \varphi)'(u_0)(\varphi'(u_0))^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u_0=\varphi^{-1}(p) \end{eqnarray}$ . Also mathematisch ist mir klar, was da steht, aber was kann ich mir darunter vorstellen und wofür braucht man das Differetial in der Differentialgeometrie? Danke für eure Hilfe
12.10.2014, 14:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie, Differential Die Tangentialräume $\begin{eqnarray} T_pS \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{f(p)}\mathbb R^n\cong\mathbb R^n \end{eqnarray}$ sind gewissermaßen lineare Näherungen an $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Für die nichtlineare Fläche $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist das tatsächlich ein neues Konzept; für den ohnehin schon linearen Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist eine lineare Näherung $\begin{eqnarray} T_{f(p)} \end{eqnarray}$ nicht allzu aufregend. Nun ist jedenfalls eine Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon S\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ zwischen beiden Räumen gegeben. Genauso wie in der Analysis auf Euklidischen Räumen soll die Ableitung $\begin{eqnarray} \dd_pf \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine lineare Näherung für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sein. Wählt man Koordinaten $\begin{eqnarray} (x^1,x^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y^1,\dotsc,y^n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ – hier durch $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und die Standardbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ –, dann ist $\begin{eqnarray} \dd_pf \end{eqnarray}$ auch tatsächlich durch die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in diesen Koordinaten gegeben. Der Nutzen dürfte jetzt auch klar sein, wenn du in der Jacobi-Matrix einen Sinn siehst.
12.10.2014, 15:16	dicath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für deine schnelle Antwort. Ich verstehe dann aber noch nicht, was der Unterschied zur "normalen" Ableitung sein soll. Die Jacobi-Matrix erhalte ich ja auch, indem ich an einem Punkt der Fläche S "normal" ableite..
12.10.2014, 15:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was soll die "normale" Ableitung sein?
12.10.2014, 15:40	dicath	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehen wir mal davon aus, dass phi von U nach S abbildet. Ich nehme mir also u1 und u2 aus U...Wenn ich dann die Ableitung von dem Punkt in S ausrechnen will, leite ich einmal nach u1 ab und einmal nach u2
12.10.2014, 15:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dann die Ableitung von $\begin{eqnarray} f\circ\varphi \end{eqnarray}$ – und ist auch genau die Koordinatendarstellung von $\begin{eqnarray} \dd_pf \end{eqnarray}$ bezüglich der Karte $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ .
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »