Abstand Funktionsgraph und Punkt

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12.10.2014, 14:33	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Funktionsgraph und Punkt Meine Frage: Ok ich habe die Funktion f(x)=-(x-3)²+4 und den Punkt P(2/1) Nun soll ich herausfinden welcher Punkt auf f(x) dem Punkt P am nächsten ist. Meine Ideen: - Edit: "Ich brauche Hilfe" ist als Threadtitel denkbar ungeeignet, geändert! LG Iorek
12.10.2014, 14:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hattet ihr schon mal Extremwertaufgaben ? Eine Möglichkeit wäre: Der Punkt Q(x\|-(x-3)²+4) ist ein allgemeiner Punkt des Graphen zu f(x). Man könnte nun untersuchen, wann die Entfernung von P nach Q minimal wird. Die Entfernung zweier Punkte kann man durch Pythagoras ausdrücken. Erstmal soweit. Kannst du damit etwas anfangen ?
12.10.2014, 14:51	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kommt man dann genau auf den Punkt?
12.10.2014, 15:08	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Beantworte bitte zunächst einmal meine Fragen, bevor es weitergeht. Und am besten auch, ob du verstehst, was ich meine.
12.10.2014, 15:26	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ja wir hatten schon mal extremwertaufgaben aber wie findet man heraus wie der Abstand minimal wird? das hab ich vergessen
12.10.2014, 15:32	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön, danke. Wie man eine Funktion für die allgemeine Entfernung von P zu Q aufstellt, ist also klar ? Denn wenn du diese Funktion (Zielfunktion) hast (nennen wir sie mal g(x)), dann musst du nur noch das Minimum (Tiefpunkt) bestimmen. Es wird dabei allerdings wohl später bei g'(x)=0 auf eine Gleichung 3. Grades hinauslaufen, die nicht so ohne weiteres von Hand zu lösen ist. Entweder mit einem Näherungsverfahren oder ihr dürft solche Gleichungen mit eurem CAS oder GTR lösen.
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12.10.2014, 15:39	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab den tiefpunkt bei (1/0) Das ist aber nicht der nächste punkt oder?
12.10.2014, 15:45	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Mehr kann ich auch nur sagen, wenn du deinen Rechenweg postest. Hier nochmal eine Skizze zum Sachverhalt bzw eigentlich sogar schon die exakte Zeichnung dazu:
12.10.2014, 15:59	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hab die zielfunktion in gtr eingegeben d:=(x2-x1)2+(y2-y1)2 und dann minimum berechnet meine frage ist was mir das minimum jetzt zeigen soll?
12.10.2014, 16:13	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt eigentlich noch eine Wurzel um den Term. Es empfiehlt sich jedoch die Zielfunktion zu quadrieren, damit bist du in der Tat die Wurzel los. Quadriert wäre das dann d²(x)=g(x)=(x-2)²+(-(x-3)²+4-1)² Diese Funktion liefert dir damit in Abhängigkeit von x (also wo der Punkt Q genau auf der Parabel liegt) wie groß die entsprechende (quadrierte) Entfernung zum gegebenen Punkt P ist. Da ja die minimale Entfernung gesucht ist, bestimmt man also das Minimum. Dieses liegt jedoch nicht bei x=1, wie man auch an der Skizze mit bloßem Augen direkt erkennen kann.
12.10.2014, 16:27	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab nachdem ich nochmal meine eingaben überprüft haben das minimum (1.327/0.7) heraus aber auf deiner zeichnung müsste der y wert auch bei 1.3 sein hab ich etwas fasch gemacht oder ist die zeichnung doch nicht exakt?
12.10.2014, 16:35	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt nun. Bedenke, dass 0,7 ja für den Abstand d und nicht für die y-Koordinate von Q steht. Die y-Koordinate von Q ergibt sich dann durch f(1,327)=...
12.10.2014, 16:38	chaack	Auf diesen Beitrag antworten »
haha ja stimmt :P danke häts echt nich ohne hilfe geschafft
12.10.2014, 16:46	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem, viel Erfolg weiterhin. Edit: Im Übrigen finde ich, dass das hier dann zumindest mal eine sinnvolle Aufgabe zur Anwendung eines CAS/GTR ist, da hier eine Gleichung auftaucht, die von Hand nicht mehr so leicht zu lösen ist. Zumindest in NRW findet ja derzeit ein kleiner "Umbruch" statt, und zwar in der Hinsicht, dass ab 2017 die Abituraufgaben auch zu einem Großteil auf die Benutzung eines CAS/GTR ausgelegt sind. Daher machen die Schüler mittlerweile auch so gut wie ALLES mit dem Ding, wobei es dann eigentlich gar nicht mehr wirklich um "manuelle Fähigkeiten" geht, sondern im Endeffekt darum, wie man sein CAS richtig bedient.

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