Injektivität und Surjektivität

12.10.2014, 15:36

petra772

Injektivität und Surjektivität

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb N^{2} \to ~\mathbb N, (x,y) \mapsto x+y \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich sie auf Injektivität und Surjektivität untersuchen.
Ich wäre sehr dankbar wenn ihr mir dabei helfen könntet, da ich selbst mithilfe der Definition von Inj. und Surj. auf keine Lösung komme.

LG Petra

Meine Ideen:
Seien $\begin{eqnarray*} (x_{1},y_{1}) (x_{2},y_{2}) \in \mathbb N^{2} mit f(x_{1},y_{1}) = f(x_{2},y_{2}) \end{eqnarray*}$

12.10.2014, 15:43

Yakyu

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Hi,

1. Surjektivität:
Ist bei euch in den natürlichen Zahlen die Null enthalten?
Diese Bedingung würde nämlich die Antwort auf die Frage
nach der Surjektivität ändern.

Grundsätzlich bedeutet Surjektivität in deinem Fall, dass es
für jede natürliche Zahl n zwei natürliche Zahlen k und m existieren deren Summe n ist.
Ist das so?

2. Injektivität:
In deinem Fall bedeutet Injektivität, dass jede natürliche Zahl n als Summe
eindeutiger natürlicher Zahlen k und m (mit Beachtung der Reihenfolge)
dargestellt werden kann. Ist das so?

12.10.2014, 16:42

petra772

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Hey Yakyu,

danke für deine schnelle Antwort.
Also, die 0 ist nicht in nat. Zahlen enthalten.

D.h für die Surjektivität: Sei n=1 dann gibt es keine 2 nat. Zahlen k und m deren Summe n ist. Also schonmal nicht surjektiv.

Injektivität: was meinst du mit eindeutiger natürlicher Zahl?

LG

12.10.2014, 18:03

Yakyu

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Zitat:

Original von petra772
D.h für die Surjektivität: Sei n=1 dann gibt es keine 2 nat. Zahlen k und m deren Summe n ist. Also schonmal nicht surjektiv.

Richtig

.

zur Injektivität: Betrachte eine konkrete Zahl n
Wäre die Abbildung injektiv, so gäbe es nur 2 natürliche Zahlen k und m, so dass
k + m = n
gelten würde.

Was kannst du mit dieser Bedingung anfangen?

12.10.2014, 19:24

petra772

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Ah wenn ich richtig verstanden habe:

Sei n=4 dann würde m=2 und k=2 funktionieren, ABER da auch m=3 und k=1 möglich wäre ist f auch nicht injektiv, oder?

12.10.2014, 19:39

Yakyu

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Jap, obwohl man hier auch schön zeigen könnte, dass die Injektivität durch das Kommutativgesetz schon ausgeschlossen werden kann.