Doppelpost! Exakte Funktoren

12.10.2014, 17:07	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Funktoren Hallo zusammen, Ich stehe vor folgender Aufgabe: Sind diese Funktoren exakt? Falls nicht, sind sie links-/rechtsexakt? 1.) Der Vergissfunktor von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X]-Moduln \end{eqnarray}$ zu den abelschen Gruppen. 2.) Der Funktor $\begin{eqnarray} HOM(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},-) \end{eqnarray}$ von den abelschen Gruppen zu den abelschen Gruppen. Zuerst eine allgemeine Frage: Ich habe gelesen, dass eine Stelle A einer Sequenz exakt heisst, wenn das Bild eines Pfeils auf den Kern des nächsten zeigt. Dann steht als Beispiel: $\begin{eqnarray} 0 \rightarrow A' \rightarrow A \end{eqnarray}$ ist exakt, wenn $\begin{eqnarray} f: A' \rightarrow A \end{eqnarray}$ eine Monomorphismus ist. Warum? Das Bild besteht aus A' und somit A'=ker(f). Da f ein Monomorphismus ist, besteht der Kern nur aus dem neutralen Element, folglich muss A' ja gerade das neutrale Element sein. Heisst die Sequenz geht von neutralem Element zu neutralem Element? Zur Aufgabe: Ich verstehe schon nicht, warum dass eine Sequenz sein sollte wenn nur ein Morphismus angegeben ist, vom Polynomring über einem Modul zu einer abelschen Gruppe. Dann nehme ich an, dass genau das neutrale Element und das Eins-Element der Halbgruppe (R,*) im Kern liegen. Oder wie ist das zu verstehen? Vielen Dank Vielen Dank.
12.10.2014, 18:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir scheint generell das Konzept eines exakten Funktors noch nicht geläufig zu sein. Ein Funktor $\begin{align} F \end{align}$ heißt exakt, wenn für jede kurze exakte Sequenz $\begin{align} 0 \to A' \to A \to A'' \to 0 \end{align}$ auch die Sequenz $\begin{align} 0 \to F(A') \to F(A) \to F(A'') \to 0 \end{align}$ exakt ist. Dann zu deiner Frage bzgl. der Exaktheit von $\begin{align} 0 \to A' \to A \end{align}$ : Exaktheit einer beliebigen Sequenz (d.h. mind 2. Abbildungen hintereinander) muss man jeder Stelle überprüfen, wo ein Pfeil hin- und wegzeigt. Hier gibt es nur eine solche Stelle, nämlich $\begin{align} A' \end{align}$ . Per Definition bedeutet Exaktheit an dieser Stelle nun: $\begin{align} Ker(f) = Bild(0 \to A) = 0 \end{align}$ , gleichbedeutend damit, dass $\begin{align} f \end{align}$ Monomorphismus ist.
13.10.2014, 09:35	Watchman	Auf diesen Beitrag antworten »
matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=199795
13.10.2014, 09:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
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