DGL 2.Ordnung - Ansatz

12.10.2014, 17:42

Duinne

DGL 2.Ordnung - Ansatz

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein kleines Problem beim finden des Ansatzes. Folgende Aufgabe ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} y^{''}-2y^{'}-3y=4e^{3x}+6e^{2x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist bekannt, dass:

$\begin{eqnarray*} g\left(x\right)=3e^{4x} \Rightarrow y_{p}=Ax\cdot e^{4x} \end{eqnarray*}$

Aber wie ist das, wenn ich einen Summanden habe?
Könnte mir hier jemand helfen?

Danke und Gruß
Duinne

12.10.2014, 17:53

grosserloewe

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RE: DGL 2.Ordnung - Ansatz
Wink

Du betrachtest das Ganze summandweise in Abhängigkeit von den Lösungen der
charakteristischen Gleichung und addierst Beides .

12.10.2014, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duinne
Mir ist bekannt, dass:

$\begin{eqnarray*} g\left(x\right)=3e^{4x} \Rightarrow y_{p}=Ax\cdot e^{4x} \end{eqnarray*}$

Das hast du aus irgendeiner anderen Aufgabe abgeschrieben, wo $\begin{align*} e^{4x} \end{align*}$ homogene Lösung war - das ist hier bei der vorliegenden DGL nicht der Fall. unglücklich

12.10.2014, 18:18

Duinne

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$\begin{eqnarray*} g\left(x\right)=3e^{4x} \Rightarrow y_{p}=Ax\cdot e^{4x} \end{eqnarray*}$ sollte nur ein Beispiel sein.

Wenn ich die Summanden einzeln betrachte, würde ich folgenden Ansatz wählen:

$\begin{eqnarray*} y_{p}= Ax\cdot e^{3x}+Bx\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, muss ich aber noch auf die Auslöschung achten, da meine allgemeine Lösung so aussieht:

$\begin{eqnarray*} y_{0}= C_{1}\cdot e^{3x} +C_{2}\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Dann müsste der Ansatz eigentlich so lauten:

$\begin{eqnarray*} y_{p}= Ax^{2} \cdot e^{3x}+Bx\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

12.10.2014, 18:25

grosserloewe

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Der 2. Summand mit B stimmt nicht , der mit A stimmt.

bezogen auf Deine 1. Zeile mit y(p)

darunter das stimmt nicht.

12.10.2014, 18:29

Duinne

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Muss ich den zweiten Summanden auch mit x multiplizieren?

12.10.2014, 18:30

grosserloewe

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nein , denn 2 ist ja keine Lösung der charakt. Gleichung.

Lösung ist also:

$\begin{eqnarray*} y_{p} = A *x *e^{3x} +B *e^{2x} \end{eqnarray*}$

13.10.2014, 11:01

Duinne

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Ohje, das habe ich, denke ich, nicht verstanden.
Was bedeutet, 2 ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung?
Die Idee war ja, die Summanden einzeln zu betrachten. Aber wenn ich das jetzt richtig verstehe, wende ich nicht den gleichen Ansatz für beide Summanden an. (von der Multiplikation mit x wegen der Auslöschung mal abgesehen)

Könntest du versuchen, mir das noch einmal genauer zu erklären? Ich wäre dir sehr dankbar!

Danke und liebe Grüße
Duinne

13.10.2014, 11:39

grosserloewe

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-Was sind den die Lösungen der charakteristischen Gleichung?

Die charakteristische Gleichung Lautet:

$\begin{eqnarray*} k^{2} -2k -3=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen sind:

$\begin{eqnarray*} k_{1} =-1 <br /> k_{2} =3 \end{eqnarray*}$

Jetzt bildest Du für jeden Summand der Störfunktion (rechts) einzeln die partikuläre Lösung:

Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Tabelle oder die folgende Formel)

$\begin{eqnarray*} y_{p} =C *x^{k} e^{\alpha *x} \end{eqnarray*}$

k= ist die Vielfachheit

a) $\begin{eqnarray*} 4 e^{3x} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet , Du schauhst wie oft die 3 in der Störfunktion Lösung der
charakteristischen Gleichung ist. Das ist 1 Mal der Fall.
Also folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} y_{p} =C_{1} * x^{1} e^{3x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 6 e^{2x} \end{eqnarray*}$

-Was bedeutet, 2 ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung?
weil die Lösungen -1 und 3 sind (siehe oben)

Also kommt die 2 im Exponenten der Störfunktion 0 Mal in der Lösung der charakt. Gleichung vor.

$\begin{eqnarray*} y_{p} =C *x^{0} *e^{2x}<br /> <br /> y_{p} =C *e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p} = y_{p1}+y_{p2} \end{eqnarray*}$

Die Lösung hatte ich ja bereits angegeben.

smile

-die Idee war ja, die Summanden einzeln zu betrachten.

so ist es.

Aber wenn ich das jetzt richtig verstehe, wende ich nicht den gleichen Ansatz für beide Summanden an.

das stimmt

14.10.2014, 08:33

Duinne

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Hallo grosserloewe!

Ich habe gestern leider nicht mehr geschafft, noch zurückzuschreiben.
Dank der super guten Erklärung, die du nun noch hinterher geschickt hast, ist mir das jetzt aber völlig klar!

Eigentlich ist das auch die ultimative Anleitung dafür, vielen Dank nochmal Freude

Gruß
Duinne

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