Beweise zu Matrixnormen (Spektralnorm = max. Eigenwert)

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ShiroiNeko Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise zu Matrixnormen (Spektralnorm = max. Eigenwert)
Hi ihr Lieben,

ich habe eine Frage zu Matrixnormen und deren Beweisen. Hab leider wenig Erfahrung mit mathematischen Beweisen und steh daher bei folgenden Beispielen ziemlich an:

1) A ist eine n x n Matrix, x ein Vektor. Man soll zeigen, dass ||A||2 <= ||A||2 * ||x||2 ist, wobei ||A||2 die Spektralnorm ist

und

2) A ist eine symmetrische Matrix, zeige, dass ||A||2 = max|lambdak (A)|, wobei lambdak(A) die Eigenwerte von A sind.

Ich weiß theoretisch wie man die Spektralnorm ausrechnet und hab versucht, das verallgemeinert hinzuschreiben, hänge aber dann beim Anschreiben vom charakteristischen Polynom. die Normen von Ax und x kann man allgemein als Summe von der Vektormultiplikation anschreiben, das hab ich daweil. Hab aber da auch irgendwie das Gefühl, dass ich viel zu kompliziert denke...

Wäre super, wenn mich jemand in die richtige Richtung stoßen könnte, Danke schonmal! =)
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RE: Beweise zu Matrixnormen (Spektralnorm = max. Eigenwert)
Zu 1. Für ist und den Bruch auf der rechten Seite kannst du durch abschätzen.

Zu 2. Eine Ungleichung zwischen der Norm und den Eigenwerten bekommst du leicht, wenn du für einen Eigenvektor x von A den Ausdruck berechnest.
Die dann noch fehlende Ungleichung zeigt man gemeinhin mit Hilfe eines Systems orthonormaler Eigenvektoren der symmetrischen Matrix A.
ShiroiNeko Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal danke für die schnelle Antwort. smile

Mir ist aufgefallen, dass ich einen Fehler in der Angabe gemacht hab: bei 1. sollte es ||Ax||2 <= ||A||2 * ||x||2 heißen, sorry.

Hab jetzt noch eine Weile drüber gegrübelt, bin aber leider immer noch nicht so recht weitergekommen (ist aber auch schon spät heut). Danke jedenfalls, ich werd's weiter probieren und mich noch ein bisschen in die Materie einlesen (falls jemand Tipps hat was hier helfen könnte nur her damit =)).
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Bei 1. kommst du auch nicht weiter? Wie habt ihr denn dann definiert?

Den Fehler bei 1. hatte ich stillschweigend übergangen und den Hinweis schon zur richtigen Ungleichung gegeben.
ShiroiNeko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Bei 1. kommst du auch nicht weiter? Wie habt ihr denn dann definiert?

soll sein die Quadratwurzel von rho(ATA), wobei rho(ATA) der größte Eigenwert ist, (die bekommt man wenn man det(E lamda - ATA) = 0 setzt).
Leider versteh ich nicht ganz wie ich damit den Bruch von der rechten Seite abschätzen kann...

Zitat:
Original von URL
Den Fehler bei 1. hatte ich stillschweigend übergangen und den Hinweis schon zur richtigen Ungleichung gegeben.

Ja, das hab ich gesehen, danke. smile Wollt nur darauf hinweisen.
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Ich war davon ausgegangen, dass ihr die Matrixnorm über definiert habt. Ich hätte fragen sollen.. Forum Kloppe
Bei deiner Definition fällt mir nur der Weg über ein Orthonormalsystem aus Eigenvektoren der symmetrischen Matrix ein: Schreibe damit und setze das in ein.
Das ist letztlich der gleiche Weg, den ich für den zweiten Teil der Aufgabe beschritten hätte.
 
 
ShiroiNeko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Ich war davon ausgegangen, dass ihr die Matrixnorm über definiert habt. Ich hätte fragen sollen.. Forum Kloppe


Achso, daher die Verwirrung. Macht nichts, ich hätt ja auch gleich dazuschreiben können, wie wir das ganze definiert hatten, aber soweit hab ich dann auch nicht gedacht. Danke für deine Hilfe, mir ist das alles jetzt schon um einiges klarer. smile
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