Statistik und Standardabweichung

13.10.2014, 10:52

Cansony

Statistik und Standardabweichung

Hallo Mathegemeinde,

eine Freundin von mir studiert gerade Medizin und muss massig viel Mathe büffeln.
Mein Abi ist schon 7 Jahre her und Statistik hatte ich damals nicht.
Sie hat mir mal eine Aufgabe geschickt, nur um zu zeigen was da so los ist.
Ich sehe da keine Sonne. Gestern habe ich schon 5 h an der Aufgabe gesessen und komme gar nicht voran. Ich möchte die Aufgabe einfach für mich lösen, bzw, verstehen.....
Hier die Aufagbe:

Bei 100 jungen Erwachsenen wird sonographisch die axiale Augapfellänge jeweils
einmalig am linken Auge gemessen. Der (arithmetische) Mittelwert der 100 Messwerte
ist 24,0 mm, die Standardabweichung der Messwerte 1,0 mm und die Messunsicherheit
als Standardabweichung des Mittelwerts (Standardfehler des Mittelwerts)
± 0,1 mm. Die Streuung der Messwerte genügt in guter Näherung einer Gauß-
Verteilung.
An wie vielen zusätzlichen Probanden müsste in gleicher Weise gemessen werden,
um die durch statistische Schwankung bedingte Messunsicherheit um den Faktor 10
zu reduzieren, also die Standardabweichung des Mittelwerts auf ± 0,01 mm zu senken
(bei gleicher Standardabweichung der Messwerte)?

Was ich herausgefunden habe ist das n Probanden gesucht werden. In der ersten Sekunde dachte ich es müssten 1000 Probanden sein aber ich habe keinen richtigen Lösungsweg dazu.

Ich weis nicht mal welche Formeln ich nehmen müsste und ob mir die Binominalverteilung da hilf oder ob man mit dem Erwartungswert arbeiten muss. Ich habe da keine Ahnung Hammer

.

Hat jemand die Lust und Muße mir das zu erklären und mir den Lösungsweg aufzeigen kann. Es geht nur darum dass ich das einfach verstehen möchte nach etlichen Jahren ausserhalb der Schule. Und da ich niemanden kenne der mir das erklären kann, frage ich euch.

13.10.2014, 11:24

Huggy

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RE: Statistik und Standardabweichung
Ohne Vorkenntnisse kann man das nicht herleiten. Die einzelne Messung ist eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die normalverteilt ist mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Wenn man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ solcher Messungen macht, hat man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_i, i = 1, ..., n \end{eqnarray*}$ , die alle denselben Erwartungswert und dieselbe Standardabweichung haben. Der Mittelwert $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen ist wieder eine Zufallsgröße:

$\begin{eqnarray*} Y=\frac {\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n} \end{eqnarray*}$

Nun besagt die Theorie der Normalverteilung, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch wieder normalverteilt ist mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung

$\begin{eqnarray*} \sigma_Y=\frac {\sigma}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Wenn man also $\begin{eqnarray*} \sigma_Y \end{eqnarray*}$ um den Faktor 10 verkleinern will, muss man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ um den Faktor 100 vergrößern.

13.10.2014, 20:22

Cansony

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Hi,

also danke erst mal für die Antwort.
Scheint ja ein leichtes für dich zu sein Augenzwinkern

Du meinst das ist also nicht so ohne weiteres, ohne Vorkenntnisse zu lösen?

Das heist einfach Werte in diese Formel einsetzen bringt es nicht $\begin{eqnarray*} Y=\frac {\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Man kann also nicht so einfach die Formel nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umstellen, da diese ja eigentlich gesucht ist.
Und wenn man sagt, dass der Faktor um 100 vergrößert werden muss, heist das im Endeffekt, dass 10000 Probanden nötig sind.

Die Uni hat übrigens mögliche Antworten vorgegeben:
a)100 b)900 c) 1000 d)1900 e)9900

13.10.2014, 22:37

Cansony

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Oder kann mir jemand den kompletten Lösungsweg zeigen an dem man das nachvollziehen kann? oO

Ich weis, dass solche Fragen nicht gewünscht sind..... . Aber vielleicht kann ich es daran sehen :/

14.10.2014, 07:25

Huggy

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Zitat:

Original von Cansony
Das heist einfach Werte in diese Formel einsetzen bringt es nicht $\begin{eqnarray*} Y=\frac {\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Man kann also nicht so einfach die Formel nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umstellen, da diese ja eigentlich gesucht ist.

Diese Formel nützt dir für die Frage nichts. Mit ihr berechnet man den Mittelwert. Die Standardabweichung steckt da doch gar nicht drin. Die Formel, die du benutzen musst, hatte ich doch genannt:

$\begin{eqnarray*} \sigma_Y=\frac {\sigma}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Die kannst du einfach n umstellen und dann kommt 10000 heraus. Da schon 100 Messungen vorliegen, braucht man noch weitere 9900.

Die Anwendung der Formel ist problemlos. Ein paar Vorkenntnisse braucht man zu ihrer Herleitung. Wenn dich das interessiert, frag noch mal nach.

14.10.2014, 10:38

Cansony

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Super, vielen Dank.

Nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umstellen sollte ich noch hinbekommen. Augenzwinkern

Ja also wenn du so freundlich wärst und mir die Herleitung erklären könntest, wäre das toll.
Ich wollte die Aufgabe ja gerne im ganzen verstehen wollen.

14.10.2014, 11:42

Huggy

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Zunächst mal gehe ich davon aus, dass diese Formel für die Standardabweichung des Mittelwertes identisch verteilter und voneinander unabhängiger Zufallsgrößen in der Vorlesung hergeleitet wurde oder zumindest angegeben wurde.

Da du, wie du sagst, in der Schule keine Stochastik hattest, müsste man bei der Herleitung eigentlich bei Adam und Eva anfangen und das geht natürlich hier im Forum nicht. Ich gehe deshalb mal nur einen Schritt zurück. Es sei $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ die Varianz und $\begin{eqnarray*} \sigma_X \end{eqnarray*}$ die Standardabweichung einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sei eine reelle Zahl. Dann gilt per Definition:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \sigma_X=\sqrt {V(X)} \end{eqnarray*}$

Seien nun $\begin{eqnarray*} X, Y, Z \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen mit $\begin{eqnarray*} Z = X + Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (2) \quad V(Z)= V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$

Ferner gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} (3) \quad V(\alpha X)= \alpha^2 V(X) \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ dieselbe Verteilung haben, also $\begin{eqnarray*} V(X) =V(Y) \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X+Y)=2V(X) \end{eqnarray*}$

Das verallgemeinert sich zu

$\begin{eqnarray*} (4) \quad V(\sum\limits_{i=1}^n X_i)=nV(X) \end{eqnarray*}$

wenn die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ alle dieselbe Verteilung haben wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und unabhängig voneinander sind. Nun betrachtet man den Mittelwert $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Y=\frac {\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n} \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} (3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (4) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} V(Y)=\frac {V(\sum\limits_{i=1}^n X_i)}{n^2}=\frac {V(X)}{n} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt mit $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ die zu zeigende Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \sigma_Y=\sqrt {V(Y)}=\sqrt {\frac {V(X)}{n}}=\frac {\sigma_X}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

14.10.2014, 15:38

Cansony

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Vielen, vielen Dank!

Ich werde mal versuchen mich durchzuknobeln.

Mir hat Mathe ja früher Spaß gemacht aber das waren dann auch Sachen die ich konnte. Haha Big Laugh

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