Abstand von Mengen und Abschluss

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von Mengen und Abschluss
Meine Frage:
Hallo Leute, folgende kleine Aufgabe:

Sei ein metrischer Raum. Seien weiter Teilmengen von .

Zeigen Sie:

Ich dachte jetzt zuerst, dass es vielleicht leichter ist zu zeigen, dass folgendes gilt:




Meine Ideen:
Ich dachte jetzt zuerst, dass es vielleicht leichter ist zu zeigen, dass folgendes gilt:



Wenn jetzt in auch statt und statt stehen würde, dann wäre es nicht so schwer, dann könnte ich ja das Element aus dem Schnitt nehmen, dass es nach Vorraussetzung gibt, und für habe ich dann sofort die Null.

Jetzt dachte ich, ich mache eine Fallunterscheidung.

Fall1: Das Schnittelement (oder die Schnittelemente, mir reicht aber eins) liegt in A und B, dann bin ich fertig, da es wie oben laufen würde

Fall2: Das Schnittelement liegt bei beiden auf dem Rand, dann konvergiert aber in beiden eine Folge gegen dieses Element, die jeweils ganz in A und B liegt. für erhalte ich dann wieder Null

Fall3: Das Schnittelement liegt einmal auf dem Rand (bei A) und in B (nicht auf dem Rand), hier kann ich doch auch wieder das Folgenargument verwenden oder?

Danke für die Hilfe
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Dein Ansatz ist gut. Ich würde den Beweis so beginnen:

Sei . Dann gibt es ein . Somit gibt es eine Folge aus A und eine Folge aus B mit und . Mache jetzt weiter

Tipp: Was ist und warum? Wenn du kennst, kannst du leicht zeigen...
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Danke für deine Antwort!

Sei also nicht leer. Dann ex. ein Somit existiert eine Folge aus und eine Folge aus mit und

Es gilt dann: , denn es gilt (habe schon gezeigt, dass d lipschitz stetig ist)

(reicht das als Begründung? )

Jetzt sehe ich mir an.

Es gilt jetzt kann ich doch hier gerade die Elemente der Folge wählen, die ja ganz in A und ganz in B liegen. Dann erhalte ich ja wieder Null.. hast du das gemeint?

Danke smile
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Zitat:
Original von steviehawk
Es gilt dann: , denn es gilt (habe schon gezeigt, dass d lipschitz stetig ist)

(reicht das als Begründung? )


sollte.

Zitat:

Jetzt sehe ich mir an.

Es gilt jetzt kann ich doch hier gerade die Elemente der Folge wählen, die ja ganz in A und ganz in B liegen. Dann erhalte ich ja wieder Null.. hast du das gemeint?


Nein, aber du hast und . Musst natürlich auch begründen, warum die beiden Ungleichungen gelten.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
okay, also wenn ich diese Ungleichung habe, dann sehe ich es sofort ein.

Die erste Ungleichung folgt aus der Definition einer Metrik. und

die zweite Ungleichung sehe ich noch nicht so richtig ein.. verwirrt

intuitiv würde ich sogar das Gegenteil annehmen Big Laugh
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Zitat:
Die erste Ungleichung folgt aus der Definition einer Metrik. und


Du meinst , oder? Augenzwinkern Die Eigenschaft brauchst du nicht dazu... Siehst du, warum ausreicht?

Zitat:
die zweite Ungleichung sehe ich noch nicht so richtig ein.. verwirrt


Ich möchte dir ungern jetzt schon die Lösung geben. Machen wir es so: Wenn du in 1-2 Stunden die Begründung noch nicht kennst, dann schreibe ich sie dir. (Schreibe dazu einfach, dass du jetzt gerne die Begründung haben willst, weil ich so daran erinnert werde)
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
ja ich sehe, dass das ausreicht Augenzwinkern

dein Vorschlag gefällt mir sehr gut.. ich möchte es auch gerne noch ein bisschen versuchen, nur muss ich jetzt aufhören, aber morgen werde ich mich noch einmal daran setzen vielleicht klappts ja dann, sonst kann ich immer noch fragen!

Wink

Edit: vermute es hat was mit der lipschitz stetigkeit zu tun, denn das Infimum macht diese nicht kaputt, das musste ich in der Aufgabe davor zeigen!
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Bis morgen Wink
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Mitterweile denke ich, dass es daran liegt, dass links das Infimum über einer größeren Menge gebildet wird.

besitzt ja nur abzählbar unendlich viele Elemente, wegen der Bijektion

ich vermute, aber dass überabzählbar unendlich viele Elemente hat. Da hier dann das Infimum über einer größeren Menge gebildet wird gilt die Abschätzung..

Ein Beispiel bestätigt meinen Verdacht. Sehe ich mir die Menge:

an, so habe ich

für die kleinere Menge (sogar Teilmenge) gilt:

also gilt HIER:

Es gilt ja auch:


weswegen die zweite Ungleichung gelten müsste.. (ich hoffe mein Beispiel hat mich nicht in die falsche Richtung geführt Big Laugh )

Ich hoffe so passts!?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
ist der Zusammenhang, auf den es ankommt. Es gilt nämlich

URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Mengen und Abschluss
Die ursprüngliche Aufgabe kann man auch direkt mit der Dreiecksungleichungen, ganz ohne Folgen, erledigen. Für ist
, also auch
.
Wenn die linke Seite positiv ist, können nicht beide Abstände rechts verschwinden und das ist die Behauptung.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür, dass für verschwindet, brauchst du aber wieder ein Folgenargument oder Ähnliches Big Laugh
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Oder eine passende Definition Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ziehe alles zurück, wenn du mir eine seriöse Quelle mit dieser Definition zeigst Teufel Big Laugh
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du damit sagen, ich sei nicht seriös? Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das nicht, aber ich lasse dich als Quelle nicht zu Teufel

Aber um wieder etwas ernster zu werden: Der Abschluss ist ja ein rein topologischer Begriff. Auch in metrischen Räumen sollte man daher bei der Einführung des Begriffs auf die Metrik selbst verzichten und topologische Begriffe wie Umgebungen verwenden (Wenn man es denn nicht direkt als den Schnitt aller abgeschlossenen Obermengen definiert).
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