Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion

13.10.2014, 21:02

Max121212

Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion

Meine Frage:
Zeige durch vollständige Induktion :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^k x^{n} =\frac{1-x^{k+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$
.
Wie führe ich den induktionsschritt durch?

Meine Ideen:
Der Induktionsbeginn ist mir klar: indem ich für k z.b. 3 einsetze erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^3 x^{n} = 1+x+x^{2} +x^{3} = \frac{1-x^{4} }{1-x} = \frac{(1-x^{2})(1+x^{2} ) }{1-x} <br /> =\frac{(1-x )(1+x)(1+x^{2}) }{1-x} \equiv (1+x)(1+x^{2} )= 1+x+x^{2} +x^{3} \end{eqnarray*}$
Oder ich nehme den noch einfachsten Fall von k=0 für den ich am Ende 1 erhalte.
Soweit bin ich gekommen. Da ich aber leider noch nie mit vollständiger Induktion gearbeitet habe komme ich nicht weiter. Ich habe zwar auch schon gegoogelt , aber auch wenn ich mir ein anderes induktionsverfahren anschaue schaffe ich es nicht das auf meinen Fall zu übertragen.

Bitte helft mir smile

Liebe Grüsse
Max

13.10.2014, 23:42

Mulder

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RE: Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion
Den Induktionsbeginn sollte man für das kleinste k machen, für das die Aussage zu beweisen ist. Du machst das "z.B. für k=3". Und was ist mit k=1 oder k=2? Die müsstest du dann nochmal separat beweisen, bzw. durchrechnen. Fang doch gleich bei 1 an. Spart unnötige Arbeit.

Zitat:

Oder ich nehme den noch einfachsten Fall von k=0 für den ich am Ende 1 erhalte.

Oder so. Kommt halt drauf an, ob 0 bei euch eine natürliche Zahl ist oder wie auch immer. Müsste ja dabeistehen, für welche k du das beweisen sollst. Und du fängst dann halt mit der kleinsten an. Theoretisch kann man den Induktionsanfang auch für k=1000 machen. Aber um eben vollständig den Beweis für alle Zahlen abzudecken, müsste man dann die Fälle k=1 bis k=999 separat beweisen, weil die dann bei der Induktion ja außenvor bleiben würden. Und das wäre natürlich schwachsinnig umständlich. Augenzwinkern

Wie auch immer: Im Induktionsschritt spaltest du den "(k+1)-ten" Summanden ab und verwendet die Induktionsvoraussetzung, deren Richtigkeit sich aus dem Induktionsanfang ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k+1} x^{n} = \left ( \sum\limits_{n=0}^{k} x^{n} \right ) + x^{k+1} = \frac{1-x^{k+1} }{1-x} + x^{k+1} = ... \end{eqnarray*}$

Bisschen umformen, dann bist du fertig. Zeigen willst du ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k+1} x^{n} = \frac{1-x^{(k+1)+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

Also letztlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{k+1} }{1-x} + x^{k+1} = \frac{1-x^{(k+1)+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

Und das sollte nun machbar sein. Erstmal auf einen Nenner bringen, dann steht es schon fast da.

15.10.2014, 17:38

Max121212

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RE: Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion
Vielen Dank!
Habe es jetzt endlich verstanden smile

Eine Frage hab ich aber noch. Warum kann ich die Gleichung nicht so beweisen :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^k x^{n} = 1+x+x^{2} +...+x^{k} =\frac{1-x^{k+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$
Beide Seiten multiplizieren mit (1-x) und ich erhalte
$\begin{eqnarray*} <br /> 1+x+x^{2} +...+x^{k} - x-x^{2}-...-x^{k} -x^{k+1} =\frac{1-x^{k+1} }{1-x} \cdot (1-x) \end{eqnarray*}$
Woraus auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 1-x^{k+1} \end{eqnarray*}$ folgt ?

Ich meine wenn aus einer Gleichung durch umformen 1=1 folgt ist sie doch damit bewiesen oder nicht?
Glg

15.10.2014, 18:02

klarsoweit

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RE: Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion
Prinzipiell ginge das auch, wobei ich die "Pünktchen"-Beweise nicht so gerne sehe. smile

15.10.2014, 18:26

Stephan Kulla

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RE: Geometrische Reihe Beweis durch vollständige induktion

Zitat:

Ich meine wenn aus einer Gleichung durch umformen 1=1 folgt ist sie doch damit bewiesen oder nicht?

Nur wenn du in allen Beweisschritten Äquivalenzumformungen verwendet hast. Dies hast du, da $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist (sonst hättest du mit 0 multipliziert, was keine Äquivalenzumformung ist). Diese Aufgabe zeigt gut, warum du vorsichtig bei einem Beweis mit der Art der Umformung umgehen musst. An jeder Stelle musst du dich fragen, ob du wirklich eine Äquivalenzumformung verwendest oder nicht.

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