Varianz

13.10.2014, 22:20

Lysis

Varianz

Meine Frage:
Kann mir jemand sagen, was an meiner Umformung falsch ist? Laut Musterlösung ist es nämlich:

$\begin{eqnarray*} Var\left(\frac{X_1+...+X_n}{n} \right) = \frac{Var(X)}{n} \end{eqnarray*}$

Danke schon mal! smile

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Var\left(\frac{X_1+...+X_n}{n} \right) = E\left(\frac{X_1^2+...+X_n^2}{n^2} \right)- E\left(\frac{X_1+...+X_n}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n^2} E\left(X_1^2+...+X_n^2\right)- \frac{1}{n^2}E\left(X_1+...+X_n\right)^2 = \frac{1}{n^2}n E\left(X^2\right)- \frac{1}{n^2}n^2E\left(X\right)^2 = \frac{1}{n} E\left(X^2\right)- E\left(X\right)^2 \end{eqnarray*}$

Edit: Zeilenumbruch zur besseren Lesbarkeit eingefügt. LG Iorek

13.10.2014, 23:42

Iorek

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Deine erste Umformung ist bereits falsch. Zwar gilt $\begin{eqnarray*} Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$ , das wendest du hier aber falsch an. Der gesamte Bruch müsste quadriert werden, d.h. im Zähler steht $\begin{eqnarray*} (X_1+\dots +X_n)^2\neq X_1^2+\dots +X_n^2 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem sollte da wahrscheinlich noch irgendwo eine Forderung zwecks Unabhängigkeit/Unkorreliertheit der Zufallsvariablen stehen...

14.10.2014, 12:25

Lysis

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Stimmt, dankeschön! smile

Es müsste also folgendermaßen sein, oder?

$\begin{eqnarray*} Var\left(\frac{X_1+...+X_n}{n} \right) = E\left(\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\right)^2 \right)- E\left(\frac{X_1+...+X_n}{n} \right)^2 =\frac{1}{n^2} E\left(\left(X_1+...+X_n\right)^2 \right)- \frac{1}{n^2} E\left(X_1+...+X_n\right)^2 <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n^2} \left(E\left(\left(X_1+...+X_n\right)^2 \right)- E\left(X_1+...+X_n\right)^2 \right)= \frac{1}{n^2} \left (nE\left(X^2 \right)- nE\left(X\right)^2 \right)= \frac{1}{n} \left (E\left(X^2 \right)- E\left(X\right)^2 \right)= \frac{Var\left(X\right) }{n} \end{eqnarray*}$

15.10.2014, 20:36

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Außerdem sollte da wahrscheinlich noch irgendwo eine Forderung zwecks Unabhängigkeit/Unkorreliertheit der Zufallsvariablen stehen...

Sofern du nicht alle notwendigen Voraussetzungen bekannt gibst, kann man da nicht viel mehr zu sagen. Und dann komm bei dir auf einmal ein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ vor, was vorher nirgendwo bezeichnet und eingeführt worden ist. Was soll das sein? Diesen Schritt solltest du generell auch noch mehr erläutern.

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