Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)

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El Krawallo Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Meine Frage:
Hallo Leute smile
Ich brauche Hilfe von einem Experten, möglichst detailiert.
Es geht um folgendes Problem:

"Zeigen Sie für beliebige Mengen A,B,C, dass gilt."

Meine Ideen:
Jetzt ist mir grundsätzlich klar, das ich irgendwie zeigen muss, dass der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen dem Ausdruck links vom Gleichheitszeichen entspricht. Auch weiß ich, dass ich zwei Mengen über das Vereinigungszeichen durch ein logisches "oder" miteinander verknüpfen kann. Wie ich jedoch die Menge, die als Faktor eine Produkts auftaucht mit den anderen verknüpfe, weiß ich nicht.
Das ist das erste Problem. Das zweite Problem ist, das ich mich mit dieser abstrakten Mathematik und der Beweisführung generell sehr schwer tue und nie weiß, wie ich es genau anstellen soll.

Ich bräuchte daher mal Jemanden, der mir anhand dieses Beispiels erklären kann wie so ein Beweis geführt wird und welche gedanklichen Schritte man zu welchem Zeitpunkt machen muss. Interessant ist auch, ob es da eine Art "Schema F" gibt, was man immer anwenden kann, egal auf welches Problem.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Eine gern genutzte Beweisidee für die Gleichheit von 2 Mengen A und B ist, daß man dieses zeigt:
1.
2.

Dazu zeigt man, daß die Implikationen sowie gelten.
El Krawallo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Ja, das verstehe ich soweit noch. Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn A eine Teilmenge von B und umgekehrt ist. So hat mein Prof das auch gesagt.

Nur, wie komme ich im konkreten Fall dahin?

Ich habe schon auf mehreren Internet-Seiten den Beweis des Distributivgesetzes gesehen, aber bisher immer nur unter Verwendung der Vereinigung und des Durchschnitts. Das finde ich dann auch relativ simpel nachvollziehbar. Ich kann da ja alle Mengen mit dem logischen "und" und dem logischen "oder" verknüpfen.

Da ich hier aber ein Multiplikationszeichen habe, geht das hier nicht und ich stehe auf dem Schlauch.
Meine Frage ist also... Wie mit dem Multiplikationszeichen umgehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Bei dem Multiplikationszeichen handelt es sich um das Zeichen für ein kartesisches Produkt. Das ändert an dem prinzipiellen Beweis rein gar nichts. Fang doch einfach mal an.
El Krawallo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Okay, es hat jetzt wirklich lange gedauert, und ich glaube, ich habe jetzt kapiert, wie es funktioniert.
Ich schätze mal, das mein Gedanke nun auch korrekt ist (habe mir Alles als Venn-Diagramm vorgestellt), aber ich schätze meine Notation wird wohl mathematisch ziemlich mies sein. Ich probiere es einfach mal:



Die Vereinigung von Menge B mit Menge C (linke Seite) drücke ich dann wie folgt aus:



Zu dieser Vereinigung multipliziert man jetzt ein Element der Menge A:



Dieses Venn-Diagramm würde ja dann zwei sich leicht überlappende Kreise zeigen (die Mengen B und C), die beide komplett schraffiert sind und durch das multiplizieren quasi nur "vergrößert" wurden.

Auf der rechten Seite ist es dann wieder wie links:



Hier hätte man ja dann in jeder der beiden Klammern folgendes stehen:



Und dann vereinigt man letztendlich zwei identische Mengen, wodurch sich nichts ändern sollte:



Und dann hab ich ja wieder das Selbe auf der rechten Seite, was ich auch schon links hatte und so sollte das ja auch sein, oder?
Würde mich freuen, wenn nach fast 5 Stunden Knobelei zumindest der Gedankengang, der zur Lösung geführt hat, stimmen würde. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz beweisen (kartesisches Produkt)
Zitat:
Original von El Krawallo
Dieses Venn-Diagramm würde ja dann zwei sich leicht überlappende Kreise zeigen (die Mengen B und C), die beide komplett schraffiert sind und durch das multiplizieren quasi nur "vergrößert" wurden.

Dieser Satz und auch andere Aussagen lassen mich zweifeln, ob du das Thema "kartesisches Produkt" wirklich verstanden hast. Nehmen wir mal die Menge . Diese besteht aus allen Paaren (a, d) mit a aus A und . Der Rest ist doch nur noch ein bißchen Logik. Wenn ist, dann ist d aus B oder d aus C. Folglich ist das Paar (a, d) Element von A x B oder A x C. Und voilà, das entspricht der Aussage auf der rechten Seite von:



und wir haben also jetzt gezeigt, daß ist.

Jetzt das Ganze noch in umgekehrter Richtung, was aber ebenso trivial ist.
 
 
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