Polynomdivision mit komplexen Zahlen

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sauber Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Hallo,

Die quartische Gleichung

besitzt die Lösung z = 1 - i. Finden Sie sämtliche Lösungen dieser Gleichung.

Mir wurde gesagt, ich solle es genau so lösen wie mir "normalen" Zahlen.

texpaste.com/n/e0nbawck

(sry für den externen Link)

Ich weis nicht, wie ich das (1-i) handhaben soll. Der Weg ist ja offensichtlich falsch.

Nen Schubs in die korrekte Richtung wäre nett, danke.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Zitat:
Original von sauber
Der Weg ist ja offensichtlich falsch.

Was meinst du damit? Polynomdivision funktioniert genauso wie mit reellen Zahlen. Allerdings sollte man auch beachten, daß bei reellen Koeffizienten die Nullstellen konjugiert komplex auftreten. Somit ist auch z = 1 + i eine Lösung und insgesamt läßt sich also das
Polynom (z - (1 + i)) * (z - (1 - i)) abspalten. smile
sauber Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Was mein ich womit? Falls du die Aussage "funktioniert gleich wie mit reellen Zahlen" meintest: Das war der Tipp den wir bekommen haben zur Aufgabe. Das Verfahren ist halt gleich, wie wenn ich rechnen würde.

Ich kenne das komplex konjugierte und ich hab auch mal gelesen was du sagst, jedoch nicht verstanden wieso dem so sein soll. Und auch wenn, ob ich jetzt durch (z-(1-i)) oder (z-(1+i) rechne, hilft mir ja nicht weiter. (Das war mein Gedanke)

1. Nullstelle:
Du sagst nun, ich kann

abspalten. Seh ich nicht, versteh ich nicht. Hat das Verfahren einen Namen, oder hast du nen Link? Was soll ich genau damit machen und wieso darf ich das?

Danke

EDIT: Text verbessert, da sonst Sonderzeichen dargestellt werden. (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sauber
Das Verfahren ist halt gleich, wie wenn ich rechnen würde.

Genau. Du müßtest also per Polynomdivision den Faktor (z - (1 - i)) abspalten, also rechnen. Das ist natürlich mit komplexen Zahlen etwas spaßig.

Zitat:
Original von sauber
1. Nullstelle:
Du sagst nun, ich kann

abspalten. Seh ich nicht, versteh ich nicht.

Daß auch das konjugiert komplexe von z_1 eine Nullstelle ist, überlegen wir uns später. Jetzt nehmen wir es erstmal, daß es so ist. Wie gesagt, läßt sich der Faktor (z - (1 + i)) * (z - (1 - i)) (natürlich auch per Polynomdivisin) abspalten. Und wenn man es richtig rechnet, ist . smile
sauber Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, mit abspalten meinst du geteilt rechnen. Ich dachte, ich kann nun ohne Pol. Div. sondern durch abspalten einen neuen Term machen und den mit einer der Nullstellen dividieren. Ich dachte, abspalten wäre wie wenn ich x^2 aus einer Gleichung ausklammere (z.B. aus x^5-x^3=0). Aber egal.

Gut, nun macht das mehr Sinn.

Natürlich ist es +2, hmm, sollte etwas ruhiger schreiben, was.

Also, ich habe:


EDIT: wiederum Text verbessert, um Sonderzeichen zu vermeiden.
EDIT2: und noch fehlende Klammern gesetzt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Der Rest ist ja jetzt einfach.

Bitte vermeide das Schreiben von
code:
1:
:(

denn das ergibt unglücklich .

Nun zur Frage, warum auch eine Lösung von ist, wenn z_1 eine Lösung ist.

Ganz einfach: Ist ,

dann ist auch .
Der Rest ist Anwendung von Regeln der komplexen Zahlen. smile
 
 
sauber Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke! Warst echt ne gute Hilfe, das mit der geo. Intepretation werde ich selbst nachlesen. smile

Sehe ich das richtig:





Somit habe ich die Nullstellen:






Nochmals danke! Und danke für den Tipp mit unglücklich , habe mich schon gewundert woher das Chaos kam.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sauber



Gemeint ist ja wohl:

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