Vollständige Induktion Problem: Voraussetzung -> Behauptung

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14.10.2014, 15:51	Jim Panse	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Problem: Voraussetzung -> Behauptung Meine Frage: Hallo, komme bei einer Induktionsaufgabe nicht auf meine Behauptung "zurück" und sehe auch nach vielem probieren den Ansatz/Fehler nicht. Aufgabe $\begin{eqnarray} <br /> \forall \mathbb N K\geq 0 \| <br /> 2^{k} = k2^{k+1}-2k+1<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Mein Ansatz: IA: K=0 $\begin{eqnarray} <br /> 2^{0} = o2^{0+1} - 20+1 = 1 Stimmt<br /> \end{eqnarray}$ IS: V: gilt für k=n $\begin{eqnarray} <br /> n\geq 0 \| 2^{n} = n2^{n+1}-2n+1<br /> \end{eqnarray}$ B: gilt für k=n+1 $\begin{eqnarray} <br /> 2^{n+1} = (n+1)2^{n+1+1}-2(n+1)+1<br /> = (n+1)2^{n+2}-2n+3<br /> \end{eqnarray}$ V->B $\begin{eqnarray} <br /> 2^{k}+2^{n+1} = n2^{n+1} - 2n+1 + 2^{n+1} <br /> = (n+1)2^{n+1} - 2n+1<br /> \end{eqnarray}$ Das ist mein aktueller Stand an dem ich nicht weiter komme, wäre super wenn mir da jmd helfen bzw einen Hinweis geben könnte. Viele Grüße
14.10.2014, 15:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Problem: Voraussetzung -> Behauptung Das mag daran liegen, dass die Behauptung falsch ist.
14.10.2014, 15:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Behauptung falsch Und zwar für alle $\begin{align} k\geq 1 \end{align}$ .
14.10.2014, 16:10	Jim Panse	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> k \geq 0 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ ist vom Prof so vorgegeben, ka ob ihm ein Fehler unterlaufen ist.
14.10.2014, 16:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht lautet die Aufgabe ja $\begin{align} 2^k ~{\color{red}\leq}~ k\cdot 2^{k+1} - 2k + 1 \end{align}$ für alle $\begin{align} k\geq 0 \end{align}$ , aber dazu braucht man nun wirklich keine Induktion: Für $\begin{align} k\geq 1 \end{align}$ folgt das direkt aus $\begin{align} (2k-1)(2^k-1) > 0 \end{align}$ durch Umstellung.
14.10.2014, 16:24	Jim Panse	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe lautet wirklich so wie oben angegeben, also mir ist kein Fehler beim abtippen unterlaufen.
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14.10.2014, 16:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Behauptung ist so offensichtlich falsch, das kann keinem Professor unterlaufen.
14.10.2014, 16:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein "Untersuchen Sie, ob folgende Behauptung richtig ist"?
14.10.2014, 16:31	Jim Panse	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe Anhang.
14.10.2014, 16:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt nicht dein Ernst, oder?
14.10.2014, 16:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann man nur sagen: Und ein dreifaches für den Threadersteller für die unnötige Zeitverschwendung, die er uns beschert hat.
14.10.2014, 16:39	Jim Panse	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke noch mal für die Hilfe. Hoch leben die Foren!
14.10.2014, 16:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur für alle, die vielleicht mal über diese Aufgabe stolpern: Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} \textcolor{red}{T(2^{k})} = k2^{k+1}-\textcolor{red}{2^k}+1 \end{eqnarray*}$ wobei das T in der Aufgabe definiert ist. Edit: Danke HAL
14.10.2014, 16:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinten steht noch $\begin{align} 2^k \end{align}$ statt $\begin{align} 2k \end{align}$ . Diesen einen Schreibfehler hätte ich noch verziehen - den anderen mit der kompletten Auslassung des $\begin{align} T(\ldots) \end{align}$ nicht.

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