Abstandsfunktion lipschitz stetig

14.10.2014, 20:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsfunktion lipschitz stetig Meine Frage: Hallo Leute, folgende kleine Aufgabe: Sei (X,d) ein metrischer Raum. Ich möchte gerne zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray} a \in X \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} f:X\to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = d(a,x) \end{eqnarray}$ lipschitz stetig ist. Meine Ideen: Wenn ich die Dreiecksungleichung anwende, dann steht es eigentlich fast da.. Ich habe: $\begin{eqnarray} d(a,x) \leq d(a,y) + d(y,x) \Rightarrow d(a,x) - d(a,y) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ da ja f nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ abbildet, muss laut Defintion der lipschitz stetigkeit rechts noch der Betrag stehen, da dies meine Metrix auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Wenn ich die Ungleichung aber einfach jetzt mit Betrag schreibe, dann stimmt sie ja unter Umständen nicht mehr. Nämlich nur wenn $\begin{eqnarray} d(a,x) - d(a,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt würde der Betrag nichts verändern, aber das muss ja nicht sein. Ist dies also der falsche Ansatz für den Beweis? Oder wähle ich einfach die Lipschitzkonstante so groß, dass es passt? Danke für die Hilfe
14.10.2014, 23:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfunktion lipschitz stetig Fang in der Dreiecksungleichung mit d(a,y) statt d(a,x) an. Das liefert den Rest.
15.10.2014, 13:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfunktion lipschitz stetig okay, das versuche ich gleich mal $\begin{eqnarray} d(a,y) \leq d(a,x) + d(x,y) \Rightarrow d(a,y) - d(a,x) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ mit der ersten Post zusammen habe ich also: $\begin{eqnarray} d(a,y) - d(a,x) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d(a,x) - d(a,y) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ dies liefert mir gerade $\begin{eqnarray} \|d(a,y) - d(a,x)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ so war das gemeint oder?
15.10.2014, 13:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfunktion lipschitz stetig Genau so
15.10.2014, 14:03	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfunktion lipschitz stetig vielen Dank für den Tipp
15.10.2014, 14:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfunktion lipschitz stetig Gern geschehen
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