Kolmogorow zeigen

14.10.2014, 21:26

GoogL

Kolmogorow zeigen

Hallo, ich muss hier wohl zeigen das diese Aufgaben nach Kolmogorw Wahrscheinlichkeiten sind.
Und wollte mal fragen ob ich am richtigen Weg bin.

Omega...endliche Menge
Zeige dass durch Festlegung der Funktion P(A) = |A|/|Omega| eine Wahrscheinlichkeit auf der gesamten Potenzmenge von Omega vorhanden ist.

Was die Axiome von Kolmo sind ist klar.
den Absatz "Wahrscheinlichkeit auf der gesamten Potenzmenge von Omega" verstehe ich nicht so ganz, aber ich habe einfach mal für Laplace versucht.

|Omega| =n -> n-Ereignisse
Da es Laplace ist, hat jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. -> P=1/n

Dann vermute ich mal, dass kein Ereignis sich mit dem anderen schneidet, also disjunkt sind.
-> Omega = $\begin{eqnarray*} A_{1} \cup ...\cup A_{n} \end{eqnarray*}$ = P(Omega)=1
Beweise ich damit das zweite Axiom?

Da jedes Ereignis gleich ist:
E(E1) +.....+ P(En)=P(E1 u....u En)
Drittes Axiom?

Wie wir oben gesagt haben ist die Wahrscheinlichkeit P=1/n für jedes Ereignis.
-> P(E)>=0
Erstes Axiom?

Passt das mal so als Beweis?

14.10.2014, 21:35

GoogL

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Oops falschen Button erwischt.

2.)
Sei Omega=[0,1]x[0,1]
Es gibt eine sigma-Algebra B welche die Ereignisse beschreibt.
Zeige dass, P(E) = |E|/|Omega| mit |E| = Fläche von E, Kolomogorow erfüllt.

Was genau muss ich da jetzt mit der Fläche und dem Intervall machen?
Und ist die sigma-Algebra relevant? Ich verstehe nämlich nicht was die aussagt....

14.10.2014, 22:23

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

diese Aufgaben nach Kolmogorw Wahrscheinlichkeiten sind

*räusper*. Wie soll denn eine Aufgabe eine Wahrscheinlichkeit sein.
Mindestens die halbe Miete in der Mathematik ist sich richtig auszudrücken.

Zitat:

Was die Axiome von Kolmo sind ist klar. den Absatz "Wahrscheinlichkeit auf der gesamten Potenzmenge von Omega"

d.h., dass die Potenzmenge als Ereignisraum (bzw. Sigma-Algebra) gewählt wird.

Zitat:

P=1/n

Was soll das denn aussagen?

Zitat:

> Omega = $\begin{eqnarray*} A_{1} \cup ...\cup A_{n} \end{eqnarray*}$ = P(Omega)=1

Machen wir mal ein Beispiel:
Omega =(1,2,3,4,5}.
Nach dem obigen wäre also $\begin{eqnarray*} Omega= 1 \cup 2 \cup 2 \cup 3\cup 4 \cup 5 \end{eqnarray*}$ .
Was sagt uns das?

Zitat:

Da jedes Ereignis gleich ist:

Bitte was? Das heißt wir haben nur ein Ereignis?

Zitat:

Wie wir oben gesagt haben ist die Wahrscheinlichkeit P=1/n für jedes Ereignis.

???
Auch Omega ist ein Ereignis, und dessen Wahrscheinlichkeit ist doch hoffentlich 1.
(oder gehst du hier hier wieder irgendwie davon aus, dass es nur ein Ereignis gibt?)

Zitat:

Passt das mal so als Beweis?

Nein.
Mal abgesehen davom, dass die Aufgabenstellung nie wirklich erwähnt wird; Ich sehe hier nirgendwo eine sinnvolle Definition einer Wahrscheinlichkeit, d.h. einer Abbildung $\begin{eqnarray*} P : \mathcal{P} (\Omega) \to [0,1] \end{eqnarray*}$

14.10.2014, 23:06

GoogL

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Okay, sorry. Werde die Sachen mal besser übersetzen.
"Prüfe oob die Funktion die Kolomogorow Gesetze erfüllt"

Zitat:

d.h., dass die Potenzmenge als Ereignisraum (bzw. Sigma-Algebra) gewählt wird.

Ahh okay.
Ich dachte der Ereignisraum wäre immer die Mengen der möglichen Ergebnisse. Ich hoffe mal das, dass nicht zu viel ändert.

Zitat:

Was soll das denn aussagen?.......
???
Auch Omega ist ein Ereignis, und dessen Wahrscheinlichkeit ist doch hoffentlich 1.
(oder gehst du hier hier wieder irgendwie davon aus, dass es nur ein Ereignis gibt?)

Ich verstehe die Frage gerade nicht.
Ich wollte nur sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis 1/n ist. Und dann eben dadurch auf das 1. Kolomorow Axiom zuückschließen, dass ja sagt, dass P(E)>=0 ist, was ja bei 1/n gegeben sein sollte.

Zitat:

Machen wir mal ein Beispiel:
Omega =(1,2,3,4,5}.
Nach dem obigen wäre also $\begin{eqnarray*} Omega= 1 \cup 2 \cup 2 \cup 3\cup 4 \cup 5 \end{eqnarray*}$ .
Was sagt uns das?

Das Omega aus den Elementarereignissen besteht?

Zitat:

Bitte was? Das heißt wir haben nur ein Ereignis?

Da die Wahrscheinlichkeit jedes EReignisses das selbe ist?
...Obwohl ich mich gerade frage was ich mit dieser Aussage wollte.

Zitat:

Mal abgesehen davom, dass die Aufgabenstellung nie wirklich erwähnt wird; Ich sehe hier nirgendwo eine sinnvolle Definition einer Wahrscheinlichkeit, d.h. einer Abbildung $\begin{eqnarray*} P : \mathcal{P} (\Omega) \to [0,1] \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht was ich damit soll.

14.10.2014, 23:17

Captain Kirk

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Zitat:

"Prüfe oob die Funktion die Kolomogorow Gesetze erfüllt"

Welche Funktion?

15.10.2014, 00:58

GoogL

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Zitat:

Welche Funktion?

P(A) = |A|/|Omega| eine Wahrscheinlichkeit auf der gesamten Potenzmenge omega festgelegt ist.

15.10.2014, 01:02

Captain Kirk

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Und damit hätten wir sowas:

Zitat:

Ich sehe hier nirgendwo eine sinnvolle Definition einer Wahrscheinlichkeit, d.h. einer Abbildung $\begin{eqnarray*} P : \mathcal{P} (\Omega) \to [0,1] \end{eqnarray*}$

und jetzt gilt es für diese Funktion zu zeigen, dass die Axiome erfüllt sind.

15.10.2014, 23:57

GoogL

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Acha, ich dachte mit der Funktion sei Laplace gemeint...

Und wo fange ich dann bei einer Abbildung an?

16.10.2014, 01:27

Captain Kirk

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Zitat:

Acha, ich dachte mit der Funktion sei Laplace gemeint...

Mit der Funktion ist "laplace gemeint". Diese Abbildung ist genau die Abbildung der laplace-Wahrscheinlichkeit.
In dem was du dazu bisher geschrieben hattest ist keine Funktion zu erkennen.

Zitat:

Und wo fange ich dann bei einer Abbildung an?

Du weist die drei Eigenschaften, die Axiome von kolmogorov genannt werden, für die Abbildung nach.
Diese sind ja bekannt:

Zitat:

Was die Axiome von Kolmo sind ist klar.

Damit ist Abbildung eine Wahrscheinlichkeit.

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