Überprüfen, ob es ein totales Differential ist

14.10.2014, 22:09

Hanna91

Überprüfen, ob es ein totales Differential ist

Meine Frage:
Hallo

es soll überprüft werden ob es sich um ein totales differential handelt

$\begin{eqnarray*} df = y dx + z^{2} dy+ x^{3} dz \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
was das totale differential ist ist mir klar ( $\begin{eqnarray*} df = \sum \frac{df}{\partial x} dx \end{eqnarray*}$ )
und auch wie ich es bei zwei variablen nachprüfen kann ( satz von schwartz)

aber hier steh ich auf dem schlauch... hier auch ableiten und ableitungen vertauschen? aber wie

jeder denkanstoß ist wilkommen

bis dann smile

15.10.2014, 20:10

Che Netzer

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RE: Überprüfen, ob es ein totales Differential ist

Zitat:

Original von Hanna91
und auch wie ich es bei zwei variablen nachprüfen kann ( satz von schwartz)

aber hier steh ich auf dem schlauch... hier auch ableiten und ableitungen vertauschen? aber wie

Ja, hier geht es analog. Du nimmst dir z.B. die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Komponente, leitest sie nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ab und leitest dann nochmal die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Komponente nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Wenn die gegebene Form dann ein totales Differential ist [bevor das gesichert ist, würde ich übrigens nicht den Namen $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ , sondern lieber $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ benutzen], müssen diese beiden Ableitungen gleich sein.
Das machst du dann mit allen möglichen Kombinationen.

Aber Vorsicht: Das war der Satz von Schwarz (ohne $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ), der eine notwendige Bedingung liefert. Die Umkehrung gilt tatsächlich auch in einigen Fällen; allerdings nicht über jedem Gebiet.

[Diese Umkehrung nennt sich dann das Lemma von Poincaré und sagt also, dass geschlossene Differentialformen auf gewissen Mengen exakt sind. Falls dir die Begriffe nichts sagen, ignorier diese Klammer einfach.]

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