p-adische ganze Zahl

15.10.2014, 00:27

evinda

p-adische ganze Zahl

Hallo!!!!

Nachdem Sie gezeigt haben, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$ eine p-adische ganze Zahl ist, finden Sie die ersten fünf Positionen dessen Potenzreihe.

Könntet ihr mir ein Tipp geben, wie ich die Aufgabe lösen könnte? Erstaunt2

15.10.2014, 00:44

Captain Kirk

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Hallo,

welches p betrachtest du denn?

man kann z.B. $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 8^{-1} \mod p^n \end{eqnarray*}$ für n=1,...,5 bestimmen.

15.10.2014, 00:46

evinda

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In unserem Fall, $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ .

15.10.2014, 18:32

evinda

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Wie kann ich $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 8^{-1} \pmod {p^n} \end{eqnarray*}$ finden? geschockt

15.10.2014, 20:07

tmo

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Du bestimmt es erst modulo 5 und liftest das Ergebnis dann sukzessive. Ihr habt doch bestimmt irgendwann mal ein entsprechnendes Beispiel gerechnet?

Alternativ ist hier der Weg über $\begin{align*} \frac{3}{8}=1-\frac{5}{8} = 1 + 5 \cdot \frac{-3}{24} \end{align*}$ zu nenne.

Denn den Bruch $\begin{align*} \frac{-3}{24} = \frac{3}{1-5^2} \end{align*}$ kann man in eine geometrische Reihe entwickeln.

15.10.2014, 20:12

evinda

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Zitat:

Original von tmo
Du bestimmt es erst modulo 5 und liftest das Ergebnis dann sukzessive. Ihr habt doch bestimmt irgendwann mal ein entsprechnendes Beispiel gerechnet?

Du meinst das ich das henselsche Lemma benutzen könnte? verwirrt

Wie kann ich es in diesem Fall anwenden? Wir haben leider kein entsprechnendes Beispiel gerechnet. unglücklich

15.10.2014, 20:15

tmo

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Letztendlich musst du ja die Gleichung $\begin{align*} 8x=3 \pmod {p^5} \end{align*}$ lösen.

Mod 5 haben wir die Lösung x = 1.

Mod 25 setzt du dann an mit x = 1+5y und bestimmst y.

Und dann geht es immer so weiter...

15.10.2014, 21:22

evinda

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Zitat:

Original von tmo
Letztendlich musst du ja die Gleichung $\begin{align*} 8x=3 \pmod {p^5} \end{align*}$ lösen.

Mod 5 haben wir die Lösung x = 1.

Mod 25 setzt du dann an mit x = 1+5y und bestimmst y.

Und dann geht es immer so weiter...

Ich habe bisher folgendes versucht:

$\begin{eqnarray*} 8x \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow x \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow x=1+5k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x \equiv 3 \pmod 5^2 \Rightarrow 8 (1+5k) \equiv 3 \pmod {5^2} \Rightarrow 8+15k \equiv 3 \pmod {25} \Rightarrow 1+3k \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow 3k \equiv -1 \pmod 5 \Rightarrow k=3+5m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1+5(3+35l) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x \equiv 3 \pmod {5^4} \Rightarrow 8[1+15+5 \cdot 25 l]-3 \equiv 0 \pmod {5^4} \Rightarrow 5^3[1+8l] \equiv 0 \pmod {5^4} \Rightarrow 1+8l \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow 8l \equiv -1 \pmod 5 \Rightarrow 3l \equiv 4 \pmod 5 \Rightarrow l=3<br /> \end{eqnarray*}$

Also, $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}=1+ 5 \cdot 3 +5^2 \cdot 0+ 5^3 \cdot 3 \end{eqnarray*}$

Könntest du mir sagen ob es bisher richtig ist? verwirrt

15.10.2014, 21:55

tmo

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Ja, das Ergebnis passt bis jetzt.

Kannst du ja auch selbst überprüfen: Du rechnest die rechte Seite aus, multiplizierst mit 8 und schaust, ob das Ergebnis modulo $\begin{align*} 5^4 \end{align*}$ den Rest 3 lässt.

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