Dreidimensionale parametrisierte Geraden sollen sich schneiden, Frage zum Lösungsansatz

15.10.2014, 00:40

perljm

Dreidimensionale parametrisierte Geraden sollen sich schneiden, Frage zum Lösungsansatz

Meine Frage:
Geben sind zwei Geraden im dreidimensionalen Raum. Jeder Vektor enthält einen Parameter und diese Parameter sollen derart bestimmt werden, dass sich die entstehenden zwei Geraden schneiden.

Die gegebenen Geraden sind:
$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} b \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz ist, beide Geraden gleich zu setzen und die entstehenden Gleichungen nach drei Unbekannten aufzulösen und die übrigen drei zu wählen. Bei meinem ersten Versuch erhielt ich so die drei Gleichungen
$\begin{eqnarray*} (1) c = 1 + br - 3s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) a = s - 3r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) d = \frac{4r - 1}{s} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun b = r = s = 1 wähle erhalte ich die Werte a = -2, c = -2 und d = -3. Setze ich nun die gewählten und berechneten Unbekannten ein bekomme ich das folgende Endergebnis, welches offensichtlich nicht stimmt.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Forme ich jedoch die Gleichung (2) um zur Gleichung (2')
$\begin{eqnarray*} (2') s = a + 3r \end{eqnarray*}$
Und wähle nun für die Gleichungen (1), (2') und (3) a = 1, r = 1 und b = 1, so erhalte ich c = -10, s = 4 und d = 3/4. Diese Werte eingesetzt führen zu dem Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich nun, mache ich bei meiner ersten Vorgehensweise irgendwo einen Rechenfehler, den ich einfach nicht finde, oder gibt es einen guten Grund bzw. klaren Unterschied zwischen meiner ersten und zweiten Vorgehensweise respektive zwischen den Gleichungen (2) und (2').
Als Unterschied sehe ich bisher, dass in meinem ersten Versuch ich beide Geradenvariablen frei wähle, während ich beim zweiten Versuch eine frei wähle und die andere aus meinen Parameter- und Variablewahlen errechne. Aus dieser Beobachtung fällt mir dann allerdings auch keine Begründung ein, weshalb das eine funktioniert und das andere nicht.

15.10.2014, 01:07

Dangalf

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RE: Dreidimensionale parametrisierte Geraden sollen sich schneiden, Frage zum Lösungsansatz
Rechenfehler. Du hast sowohl c als auch d im ersten Ansatz falsch berechnet, den zweiten habe ich nicht nachgerechnet.

15.10.2014, 01:16

Bjoern1982

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In der Tat verrechnest du dich bei deinem ersten Ansatz.
Das jetzt nochmal nachzurechnen, würde ich mir aber schenken, denn das führt im Endeffekt zu nichts.
Du deutest die Aufgabenstellung (so vermute ich) offenbar so, dass es ausreicht, einfach irgendeine (von unendlich vielen) Lösungen anzugeben.
Das ist hier jedoch gar nicht gemeint.
Man soll viel mehr sogar ganze Wertebereiche für die Parameter a,b,c und d angeben, so dass gewährleistet ist, dass sich g und h schneiden.
Zur Vorgehensweise ist das mit dem Gleichsetzen ja schonmal ein richtiger Ansatz.
Danach überlege dir aber nochmal genau, wie du anschließend vorgehen würdest, wenn in den Vektoren keine zusätzlichen Parameter auftauchen würden.
Ein üblicher Weg wäre es z.B. zunächst nur 2 der 3 Gleichungen zu betrachten (etwa die 2. und 3. Gleichung) und damit schon mal r und s beispielsweise in Abhängigkeit von a und d auszudrücken.
Anschließend wird das dann noch in die noch nicht benutzte Gleichung eingesetzt und dann gefolgert, wann diese Probe nun aufgeht und das komplette Gleichungssystem damit insgesamt genau eine Lösung besitzen kann.

15.10.2014, 19:39

perljm

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RE: Dreidimensionale parametrisierte Geraden sollen sich schneiden, Frage zum Lösungsansatz

Zitat:

Original von Dangalf
Rechenfehler. Du hast sowohl c als auch d im ersten Ansatz falsch berechnet, den zweiten habe ich nicht nachgerechnet.

Ah, super danke. Hab mich da irgendwie so im Rechnen festgefahren, dass mir die Fehler nicht mehr aufgefallen sind.

15.10.2014, 20:36

Bjoern1982

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Soso, dir kam es also offenbar gar nicht darauf an, wie man die Aufgabe korrekt löst.
Auch nicht schlecht. Big Laugh

20.10.2014, 15:54

rudizet

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RE: Dreidimensionale parametrisierte Geraden sollen sich schneiden, Frage zum Lösungsansatz
Hallo perljm,
man kann in der Tat 3 Parameter wählen. Ich habe r=1, s=2 und c=1 gewählt. Damit geht es. Deine ersten drei Gleichungen sind richtig. Man kann so wie Du b=r=s=1 wählen. Damit geht es auch. Man muss nur richtig rechnen, d.h. nur a=-2 richtig berechnet. Die anderen sind falsch.
Gruß von rudizet

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