Komplexe NS x^4+6*x^2+25

15.10.2014, 10:45	lmz	Auf diesen Beitrag antworten »
*Komplexe NS x^4+6x^2+25** Hallo zusammen, ich brauche die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} x^{4} + 6x^{2} + 25 \end{eqnarray}$ und hänge gerade etwas. Meine Idee war quadratische Ergänzung was bei mir zu $\begin{eqnarray} x^{2}+3 = \pm \sqrt{-14} = \pm i \sqrt{14} \end{eqnarray}$ führt. Wenn ich jetzt allerdings nach x auflösen will komme ich bei $\begin{eqnarray} x = \pm \sqrt{-3 \pm i \sqrt{-14}} \end{eqnarray}$ raus. Mit z = a + bi ---> $\begin{eqnarray} Re(z^{2}) = a^{2} - b^{2}, Im(z^{2}) = ab \end{eqnarray}$ komme ich dann auf die Gleichung $\begin{eqnarray} a \sqrt{a^{2}+3} = \sqrt{14} \Leftrightarrow a^{4}+3a^{2} = 14 \end{eqnarray}$ , was ich wieder quadratisch ergänzen würde, was mich dann schließlich im Kreis gehen lässt. Wie löse ich das ganzen denn nun am schnellsten? LG und danke Lucas
15.10.2014, 10:55	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Am schnellsten geht's mit der Substitution z=x² und pq-Formel. Viele Grüße Steffen
15.10.2014, 11:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das wurde oben ja so versucht, allerdings mit Rechenfehlern: Es ist $\begin{align} x^2+3 = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i \end{align}$ . Alternativ ginge auch der Weg der Zerlegung in zwei reelle quadratische Polynomfaktoren: $\begin{align} x^4+6x^2+25 = (x^2+5)^2 - 4x^2 = (x^2-2x+5)(x^2+2x+5) \end{align}$ , da sind dann die x-Lösungen gleich in einer angenehmeren Form.
15.10.2014, 11:33	lmz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Rücksubstitution ist es gewesen, die mir die Probleme bereitet hat =) Danke HAL für die Korrektur, ich habs mehrmals gerechnet und habe wohl jedesmal denselben Fehler gemacht (evtl. Zeit für Mittagspause :P). Das ist das erste Mal, dass ich diese Art Zerlegung sehe! Danke das ist wirklich hilfreich!! LG Lucas

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