Summenkonvention

15.10.2014, 14:01	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenkonvention Meine Frage: Gegeben sind zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = a_{i} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = b_{i} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Berechne $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ das Levi-Civita-Symbol ist. Meine Ideen: Also ich weiß das $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k} \end{eqnarray}$ das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray}$ ist, aber ich würde es gerne normal auch rechnen damit ich die Summenkonvention verstehe, die besagt das über doppelt auftretende Indizes summiert wird. Ich wollte nur wissen ob meine Rechnung stimmt: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k}= \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k}= \epsilon_{i1k} a_{1} b_{k} +\epsilon_{i2k} a_{2} b_{k}+\epsilon_{i3k} a_{3} b_{k}= \epsilon_{i11} a_{1} b_{1} +\epsilon_{i12} a_{1} b_{2} +\epsilon_{i13} a_{1} b_{3} +\epsilon_{i21} a_{2} b_{1} +\epsilon_{i22} a_{2} b_{2} + \epsilon_{i23} a_{2} b_{3} +\epsilon_{i31} a_{3} b_{1} +\epsilon_{i32} a_{3} b_{2} +\epsilon_{i33} a_{3} b_{3} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i=1,2,3 \end{eqnarray}$ stimmt das ?
15.10.2014, 14:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenkonvention so weit in Ordnung. Hier würde man gleich noch $\begin{eqnarray} \epsilon_{imm}=0 \end{eqnarray}$ verwenden
15.10.2014, 14:31	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenkonvention Das ist doch bei jedem Beispiel die ur aufwändige Schreibarbeit. Gibt es da keinen Trick das ganze abzukürzen?
15.10.2014, 14:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenkonvention Man lässt den Ausdruck einfach stehen? Wenn du es "gerne normal auch rechnen" willst, dann nutze die Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ von Anfang an aus. Z.B. für die erste Komponente, also i=1. Da kommt nur noch j=2,k=3 oder j=3,k=2 in Frage. Mit $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon_{132}=-1 \end{eqnarray}$ bekommst du gleich $\begin{eqnarray} a_2b_3-a_3b_2 \end{eqnarray}$ .
15.10.2014, 16:04	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, eigentlich eh logisch danke!!!

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