Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen

15.10.2014, 15:50

steviehawk

Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen

Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum. Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(A,x) = 0, \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für die Hinrichtung dachte ich mir folgendes

$\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dies bedeutet für jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dass ihr Grenzwert in A liegen muss. Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n) = \tilde a \in A \end{eqnarray*}$

Angenommen es gilt nun für ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} d(A,x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet dies, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \inf_{a \in A} d(a,x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dies bedeutet aber, dass es eine Folge in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Da abgeschlossen ist muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Grenzwert dieser Folge eben auch in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen.

passt das so? Ich bin mir nicht 100% sicher, warum wegen $\begin{eqnarray*} \inf_{a \in A} d(a,x) = 0 \end{eqnarray*}$ diese Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \to x \ \ (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ existieren muss, stimmt das überhaupt?
Ich würde dies aber durch $\begin{eqnarray*} d(a,x) = 0 \Leftrightarrow a = x \end{eqnarray*}$ begründen

Danke für die Hilfe (Rückrichtung folgt dann, wenn ich dies verstanden habe)

15.10.2014, 16:21

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Es muss heißen:
Dies bedeutet für jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dass ihr Grenzwert in A liegen muss.

Zitat:

Ich bin mir nicht 100% sicher, warum wegen $\begin{eqnarray*} \inf_{a \in A} d(a,x) = 0 \end{eqnarray*}$ diese Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \to x \ \ (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ existieren muss

Die Existenz einer solchen Folge kannst du mit der Definition des Infimums leicht zeigen.

16.10.2014, 09:07

steviehawk

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Ich hatte hier zwar schon was gepostet, aber das war nicht viel wert, ich denke, dass meine jetzigen Ansätze eher zum Ziel führen.

Ich möchte ja zeigen, dass gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(A,x) = 0 \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ (Hinrichtung)

Sei dies nun also alles der Fall. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} d(A,x) = \inf_{a \in A} \{ d(a,x) \} = 0 \end{eqnarray*}$

Deswegen gilt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \exists a \in A : d(a,x) < \epsilon \end{eqnarray*}$

dies bedeutet, aber gerade $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \exists a \in A : a \in B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$

demnach kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sein. Denn wäre $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ innere Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ dann wäre wegen der Offenheit von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ auch der ganze Ball $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ enthalten, dann aber auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist. Da $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ offen ist, kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch kein Randpunkt sein, also muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen.

16.10.2014, 10:13

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Vorneweg - grundsätzlich richtig Freude

Trotzdem ein paar Anmerkungen:
Aus $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \exists a \in A : d(a,x) < \epsilon \end{eqnarray*}$ bekommst du auch die gesuchte Folge:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb{N} \ \exists a_n \in A : d(a_n,x) < \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Zitat:

demnach kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sein. Denn wäre $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ innere Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ dann wäre wegen der Offenheit von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ auch der ganze Ball $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ enthalten, dann aber auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist.

Im zweiten Satz brauchst du die Offenheit von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nicht, es reicht die Definition eines inneren Punktes.

16.10.2014, 10:21

steviehawk

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
okay wunderbar und vielen Dank für deine Anmerkung

Die Rückrichtung bereitet mir gerade noch mehr Probleme verwirrt

Hier muss ich ja letzlich die Abgeschlosseneheit von A folgern können..

Ich möchte zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} (\forall x \in X; d(A,x) = 0 \Rightarrow x \in A ) \Rightarrow \ A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen

irgendwie komisch, wenn in der Voraussetzung auch schon eine Folgerung steckt.. Ich werde mal noch bisschen rumprobieren..

17.10.2014, 10:43

steviehawk

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
so ich versuche es jetzt mal,

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mi $\begin{eqnarray*} d(A,x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt also, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist. Über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ habe ich aber noch keine Info ob offen oder abgeschlossen.

Laut Voraussetzung gilt ja: Falls in jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Ball $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein a liegt, dann muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bereits in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, muss ich ja zeigen, dass das Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ offen ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} u \in A^c \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte $\begin{eqnarray*} B(u,\delta) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ wirklich offen ist, dann muss $\begin{eqnarray*} B(u,\delta) \end{eqnarray*}$ ganz in $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ liegen.

mhh, also irgendwie weiß ich nicht so recht ob das zum Ziel führt verwirrt

Hast du mir vielleicht noch einen Tipp?

17.10.2014, 14:13

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Offenheit von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist gut.
Wenn $\begin{eqnarray*} u \in A^c \end{eqnarray*}$ ist, was weißt du dann über $\begin{eqnarray*} d(A,u) \end{eqnarray*}$ ?
Dann hast du auch bestimmt eine Idee, wie du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen kannst. Im Zweifel hilft eine Skizze Augenzwinkern

18.10.2014, 11:35

steviehawk

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \delta := d(A,u) \end{eqnarray*}$ wähle, dann geht es glaube ich auf, denn:

Sein $\begin{eqnarray*} u \in A^c \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} d(A,u) > 0 \end{eqnarray*}$ , denn wäre $\begin{eqnarray*} d(A,u) = 0 \end{eqnarray*}$ dann folgt nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} u \in A \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} u \in A^c \end{eqnarray*}$ ist. (dabei ist ja $\begin{eqnarray*} d(A,x) \geq 0 \ \forall x \in X \end{eqnarray*}$ )

Sei nun $\begin{eqnarray*} U(u,\delta) \end{eqnarray*}$ die offene Delta Kugel um $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeige, dass diese auch ganz in $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ liegt. Sei dazu $\begin{eqnarray*} x \in X \cap U(x,\delta) \end{eqnarray*}$

Betrachte: $\begin{eqnarray*} d(A,x) \geq \underbrace{d(A,u)}_{>0} - \underbrace{d(u,x)}_{< \delta = d(A,u} > 0 \ \Rightarrow x \in A^c \Rightarrow A^c \ offen \Rightarrow \ A \ abgeschlossen \end{eqnarray*}$

stimmt das?

vielen Dank für den Hinweis

18.10.2014, 11:43

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RE: Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen
Stimmt Freude

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