Vollständige Induktion Ungleichung Produkt

15.10.2014, 15:59

River_Tam

Vollständige Induktion Ungleichung Produkt

Meine Frage:
Hallo,
Ich sitze an einer Aufgabe, bei der ich gerade nicht genau weiß, wie ich einen Bruch abschätzen soll:

Aufgabe: zeige per vollständiger Induktion $\begin{eqnarray*} \prod_{1}^{n} \frac{2k-1}{2k}<\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also für 1 stimmt das schonmal, weil 1/2 < 1/sqrt(2),
Nun nehme ich an gilt für A(n) ist wahr und setze an mit A(n+1).

$\begin{eqnarray*} \prod_{1}^{n+1} \frac{2k-1}{2k}=\frac{2n+1}{2n+2}*\prod_{1}^{n} \frac{2k-1}{2k}<\frac{2n+1}{2n+2}\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht wie ich das so abschätzen soll, dass da hinterher
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$ steht. Kann mir jemand Tipps geben?

(n ist hier Element der natürlichen Zahlen)

Danke und viele Grüße

15.10.2014, 18:08

Stephan Kulla

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung Produkt
Um den Lösungsweg zu finden, kannst du mal probieren, mit der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}\frac{1}{\sqrt{n+1}} \le \frac{1}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$

zu beginnen und diese so lange mit Äquivalenzumformungen umzuformen, bis du eine wahr Aussage erhältst. Ich habe es zwar nicht bis zu Ende gerechnet, aber dieser Ansatz scheint aufzugehen...

16.10.2014, 20:09

River_Tam

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung Produkt
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}\frac{1}{\sqrt{n+1}} \le \frac{1}{\sqrt{n+2} } <=> \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$

Das wäre die erste Umformung. Jetzt hätte ich die Idee, dass ich die beiden Seiten quadriere (bin mir leider im vorliegenden Fall nicht sicher, ob das erlaubt ist, da ich noch etwas unerfahren bin mit dem Umgang solcher Ungleichungen).

$\begin{eqnarray*} (\frac{(2n+1)}{(2n+2)})^{2}= \frac{4n(n+1)+1}{4n(n+2)+4} <\frac{4n(n+1)}{4n(n+2)}=\frac{(n+1)}{(n+2)} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

17.10.2014, 09:00

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung Produkt

Zitat:

Original von River_Tam
Jetzt hätte ich die Idee, dass ich die beiden Seiten quadriere (bin mir leider im vorliegenden Fall nicht sicher, ob das erlaubt ist, da ich noch etwas unerfahren bin mit dem Umgang solcher Ungleichungen).

Da beide Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine erlaubte Äquivalenzumformung. Allerdings ist die Gültigkeit dieser Ungleichung:

Zitat:

Original von River_Tam
$\begin{eqnarray*} \frac{4n(n+1)+1}{4n(n+2)+4} <\frac{4n(n+1)}{4n(n+2)} \end{eqnarray*}$

auf den ersten Blick nicht erkennbar.

17.10.2014, 09:40

Stephan Kulla

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung Produkt
Weil für $\begin{eqnarray*} x,y \ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x < y \iff x^2 < y^2 \end{eqnarray*}$ , kannst du hier quadrieren.

Ich würde noch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{4n(n+1)+1}{4n(n+2)+4} <\frac{4n(n+1)}{4n(n+2)} \end{eqnarray*}$ beweisen, weil sie für mich nicht offensichtlich ist. (Diese kannst du beweisen, indem du sie nach n durch Äquivalenzumformungen umstellst).

@klarsoweit: Sorry, habe erst jetzt gesehen, dass du heute schon geantwortet hast... Augenzwinkern

Aber gut zu sehen, dass wir gleiche Antworten haben... Augenzwinkern

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