Determinanten und Matrizen

15.10.2014, 18:13	Hohe Mathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten und Matrizen Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche es jetzt einfach mal hier in dem Forum, ist quasi meine letzte Hoffnung, dass ich ein wenig verstehe. Meine Matheklausur ist am Dienstag. In der Schule (12. Klasse Gymnasium) haben wir im Moment das Thema Stochastik. Eigentlich geht es in unserem Lehrplan um Bedarfsmatrizen, Populationsentwicklung und Austauschprozesse. Mein Lehrer hat allerdings ein kleines Extrathema in die Klausur hinzugefügt: Matrizen und Determinanten. Das Thema mit den Determinaten hatten wir im letzten Jahr schon einmal, dort haben wir lineare Abhängigkeit bzw. Unabhägigkeit von Vektoren bewiesen. Diesmal haben wir allerdings keine 3x3 Matrix sondern eine 2x2 Matrix. Sollte vom Rechenaufwand ja eigentlich leichter sein... Im Unterricht haben wir zunächst einmal folgendes bewiesen: $\begin{eqnarray} \|A\| \cdot \|B\| = \|A\cdot B\| \end{eqnarray}$ Wir haben dies mit Buchstaben bewiesen, diesen Beweis habe ich auch soweit verstanden und konnte ihn auch "nachrechnen". Ferner haben wir die Einheitsmatrix besprochen: $\begin{eqnarray} A^{-1} \cdot A = E<br /> \end{eqnarray}$ Mehr haben wir zu diesem Thema nicht gemacht. Wir haben das meiner Meinung nach, also nur ganz kurz angerissen. Bei mir im Unterricht ist es nun so, dass wir vor jeder Klausur eine "Probeklausur" bekommen. In dieser Klausur sind ähnliche Aufgaben wie in der späteren Klausur zum Üben. Und jetzt komme ich zu meinen Fragen, weil ich keine Ahnung habe, wie ich mit meinen Kenntnissen diese Aufgaben lösen soll. Vorab: Das sind keine Hausaufgaben etc. das dient nur für mich und für meine Übung. Also nicht denken, dass ihr meine Hausaufgaben macht Für die gesamte Aufgabe gilt: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich komme mal zur Aufgabe a): Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} A^{-1}= \frac{1}{\|A\|}\begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ganz ehrlich? Ich habe mit meinen Kenntnissen keine Ahnung, was genau ich da überhaupt tun soll. Mein Lehrer sagte, dass ich das irgendwie mit der Einheitsmatrix machen muss, allerdings weiß ich nicht, was die Einheitsmatrix mit dieser Aufgabe zu tun hat... Aufgabe b): Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ linear abhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow A² \end{eqnarray}$ linear abhängig Gut, Determianten hatten in der Vergangenheit was mit der Abhängigkeit und der Unabhängikeit zu tun, aber was und vor allem wie soll ich hier etwas beweisen? Aufgabe c) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac{1}{\|A\|} \end{eqnarray}$ Sieht etwas ähnlich aus wie Aufgabenteil a), kann allerdings keinen Zusammenhang herstellen... Und nun die letzte Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine stochastische Matrix, so gilt: $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ ist entweder keine Stochastische Matrix oder $\begin{eqnarray} A = E \end{eqnarray}$ Hier werde ich dann wahrscheinlich irgendwie mit $\begin{eqnarray} 1-a \end{eqnarray}$ oder so arbeiten müssen? Ich muss ja eine stochastische Matrix bekommen, allerdings weiß ich da auch nicht weiter... Ich hoffe, dass das Ganze nur etwas kompliziert aussieht und ich nur einen kleinen Denkansatz benötige... Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe. Meine Ideen: ... Meine wenigen Ideen sind ja bereits oben erwähnt worden...
17.10.2014, 20:38	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten und Matrizen Die Aufgaben a) bis c) lassen sich einfach mit den 2 Voraussetzungen lösen, die bereits vorgegeben sind: $\begin{eqnarray} (1) \|A\| \cdot \|B\| = \|A\cdot B\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) A^{-1} \cdot A = E \end{eqnarray}$ Zu a) Du mußt eben die Matrixmultiplikation von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit der (behaupteten) Inversen $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ durchführen und noch mit dem Kehrwert der Determinanten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ multiplizieren. Wenn dann die Einheitsmatrix rauskommt, ist die Lösung gezeigt. Zu b) Scheint mir hier falsch formuliert zu sein. Gemeint ist wohl, dass die Spalten-/Zeilenvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ linear abhängig sind und damit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht invertierbar. Wenn man die Determinante einer nicht invertierbaren Matrix kennt, ergibt sich die Lösung aus Voraussetzung (1). Alternativ kannst Du natürlich auch erst formal $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ berechnen und dann prüfen ob $\begin{eqnarray} \|A^2\| \end{eqnarray}$ den erforderlichen Wert annimmt. Zu c) Ist unvollständig angegeben. Es muß heißen $\begin{eqnarray} \|A^{-1}\| = \frac{1}{\|A\|} \end{eqnarray}$ Aus 1) und 2) folgt $\begin{eqnarray} \|A^{-1}\| \cdot \|A\| = \|E\| \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} \|E\| \end{eqnarray}$ bekannt, folgt sofort die Lösung.

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