Sinusfunktion lösen

15.10.2014, 18:17

Bonheur

Sinusfunktion lösen

Ich versuche gerade diese Gleichung zu lösen, aber leider gelingt es mir nicht.

$\begin{eqnarray*} 20 \cdot sin\left(\frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)\right)+24=14 \end{eqnarray*}$

Ideen:
Die Gleichung mit 20 zu dividieren und mit 24/20 zu subtrahieren und dann den Ausdruck, der im Sinus ist mit u zu substituieren, aber leider komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

Vielen Dank

15.10.2014, 18:18

Equester

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Also ich würde ja erst 24 subtrahieren und dann 20 dividieren, läuft aber natürlich aufs gleiche hinaus (nur fände ich das einfacher)^^.

Was steht dann rechst? Wann ist dies für den Sinus erfüllt?

15.10.2014, 18:23

WillHunting

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RE: Sinusfunktion lösen
subtituiere doch einfach das argument von sinus und wie mein Vorredner schon schrieb, solltest du mal schauen wann die gleichung erfüllt ist.

15.10.2014, 18:25

Bonheur

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ja. Viel schneller. smile

für t=1.02254 oder ?

15.10.2014, 18:34

Equester

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Hast du mit Rundungswerten gerechnet? Das Ergebnis kann exakt angegeben werden. Achte übrigens darauf wie der Sinus aussieht. Gibt es nur ein Ergebnis?

15.10.2014, 18:46

Bonheur

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Es gibt unendlich viele Ergebnis.
Dann könnte man Theoretisch das Ergebnis in Abhängigkeit von k angeben.

t=1.02254 ist ein mögliches Ergebnis.

Ja. Ich habe mir Rundungswerten gerechnet.

Ich habe einfach diese Gleichung gelöst:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)+24=14 \end{eqnarray*}$

Dann kam für t, dass obige Ergebnis raus.

Wie kann man das allerdings für alle möglichen Ergebnisse machen ?

15.10.2014, 18:51

Equester

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Hö?
Und den Sinus hast du weggezaubert?^^

Schreib das nochmals sauber hin, sodass der Sinus samt Argument links steht und der Rest rechts steht. Dann sprechen wir weiter.

15.10.2014, 19:02

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} sin\left(\frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)\right)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

15.10.2014, 19:05

Equester

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So ist es richtig.

Nun überlege dir, wie das Argument aussehen muss, damit der Sinus insgesamt -1/2 ergibt? Reicht mir auch erstmal ein Ergebnis (also ohne Angabe von Periode).

15.10.2014, 19:39

Bonheur

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Habe bissel gegrübelt.
$\begin{eqnarray*} sin\left(\frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)\right)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck im Sinus muss -30 ergeben, damit der komplette Ausdruck -1/2 ergibt:

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)=-30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=-27.1479 \end{eqnarray*}$

15.10.2014, 19:45

Equester

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Auch hier kann ich dir nicht folgen. Wie kommst du darauf, dass das Argument -30 ergeben muss?

Lass mich eine andere Frage stellen:

sin(x) = -1/2

Nenne mir eine Lösung. Eine Sinustabelle zu verwenden sei gestattet Augenzwinkern

15.10.2014, 19:46

Mathema

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@Bonheur:

Du solltest deinen Taschenrechner mal ins Borgenmaß umstellen. Augenzwinkern

15.10.2014, 19:46

Bonheur

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Genau so habe ich das gemacht. smile

sin(-30)=-1/2 und deshalb die -30.

15.10.2014, 19:52

Equester

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Ah du rechnest mit Grad (wie auch Mathema schon festgestellt hat). Das ist hier unpraktisch. Sowas wird in Radian gerechnet Augenzwinkern

.

Was sind -30° in Radian?

15.10.2014, 19:55

Bonheur

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Alles klar.

Dann muss man überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)=-\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$

15.10.2014, 19:59

Equester

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Jetzt hast du eine Lösung gefunden. Finde noch die anderen^^.

15.10.2014, 20:15

Bonheur

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Wie ?

Brauche einen Tipp.

15.10.2014, 20:22

HAL 9000

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Ein immer wiederkehrendes Problem - offenbar wird das von den meisten Lehrern nur unzureichend bzw. gar nicht erklärt:

Umkehrung Sinus/Kosinus

15.10.2014, 20:23

Equester

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Du musst die Periode auslesen. Denn jede Periode wird sich das ja wiederholen, dass der y-Wert -1/2 angenommen wird.

Dann zusätzlich noch betrachten, dass ja der "normale" Sinus innerhalb einer Periode zweimal den y-Wert -1/2 annimmt. Das gilt auch für uns Augenzwinkern

15.10.2014, 20:34

Equester

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@HAL: Würdest Du vollends fertig machen? Würde dann ins Nest gehen Augenzwinkern

.
Der Weg ist ja nicht mehr weit.

@all: Gute Nacht,

Wink

15.10.2014, 20:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Equester
@HAL: Würdest Du vollends fertig machen? Würde dann ins Nest gehen Augenzwinkern

Bin eigentlich auch schon viel zu lange auf angesichts meiner Bronchitis. Nein, ich wollte nur den Link anbringen, mehr nicht.

15.10.2014, 21:01

Mathema

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Dann gebe ich noch mal ein Hinweis:

Du solltest noch mal von dieser Gleichung ausgehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)=-\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Nun überdenken wir die rechte Seite. Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Das heißt wir könnten mal eine neue Gleichung betrachten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)=\frac{11\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Des Weiteren können wir die Symmetrie am Einheitskreis nutzen:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} sin (x_1) = sin (\pi-x_1) \end{eqnarray*}$

Von daher können wir auch noch mal folgende Gleichung betrachten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot \pi}{6} \cdot (t-1.5)= \frac{7\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Und dann solltest du noch mal überlegen, wie wir nun alle Lösungen angeben können.

Wink

edit: @HAL: Gute Besserung!

15.10.2014, 21:12

Dopap

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mmh, also abseits von aller rechnerischen Formulierungen, kann ich nur empfehlen, die Graphen zuerst anzuschauen.

Wenn klar ist, dass die Periode = 6 ist und die Achsverschiebung =1.5 lässt sich unschwer einige Lösungen ablesen.

z.b. $\begin{eqnarray*} x=6\pm 1 \end{eqnarray*}$

Das könnte man dann jetzt rückwärts für ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ formulieren.

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