Trigonometrische Gleichung

15.10.2014, 20:17

WillHunting

Trigonometrische Gleichung

Ich bräuchte mal einen Ansatz für folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x) ^{3} }{\cos(x)-\cos(2x)*\cos(x)} =1 \end{eqnarray*}$

vereinfacht kann man doch sagen
$\begin{eqnarray*} \sin(x) ^{3} =1 \end{eqnarray*}$
jedoch sagt mir mein CAS ,dass es komplexe Nullstellen gibt. wie kommen diese zustande.

und wenn ich umforme zu
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}*\sin(x)- \frac{1}{4}*\sin(3x)=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich ganz andere Nullstellen

15.10.2014, 22:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von WillHunting
vereinfacht kann man doch sagen
$\begin{eqnarray*} \sin(x) ^{3} =1 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? unglücklich

Tatsächlich kann man im Nenner $\begin{align*} 1-\cos(2x) = 2\sin^2(x) \end{align*}$ nutzen, was (nach offensichtlichem Kürzen) die Gleichung doch sehr erheblich vereinfacht.

Zitat:

Original von WillHunting
jedoch sagt mir mein CAS ,dass es komplexe Nullstellen gibt. wie kommen diese zustande.

Wenn du hier nur die reelle Gleichung betrachtest, dann ist das irrelevant. CAS sind gut und schön, aber man muss auch mit ihnen umgehen können.

EDIT: Und wenn ich das richtig überblicke, hat die Gleichung auch in $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ nicht mehr Lösungen als in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , d.h. es gibt keine komplexen Lösungen mit Imaginärteil ungleich Null. Augenzwinkern

16.10.2014, 09:15

WillHunting

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Jo Habs gefunden, hatte einen Denkfehler

Sollte arctan(2) ergeben

16.10.2014, 10:12

HAL 9000

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Das ist die eine Lösung im Grundintervall $\begin{align*} \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ , ja.

Sollten alle reellen (und komplexen) Lösungen gesucht werden, dann lautet die Antwort

$\begin{align*} \arctan(2)+k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ .

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