Funktionen/Umkehrfunktionen

15.10.2014, 22:06

winki2008

Funktionen/Umkehrfunktionen

Hallo!

Wie immer habe ich verständnisprobleme bei folgenden Beispielen:

Bei 1) eine Funktion deren Menge Kreise in der Ebene beschreibt ist noch vorstellbar, aber f(x)=Flächeninhalt von x....ist da gemeint die Fläche, die die x-Achse mit der Funktion f(x)=x eingeht oder wie?

Bei Bsp 2) a) ist hier gemeint:

$\begin{eqnarray*} f:X \to Y...Umkehrfkt....f^{-1}:Y \to X g:Y \to Z...Umkehrfkt....g^{-1}:Z \to Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \circ g..... Z \to X Umkehrfunktion g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$

b) wäre es möglich $\begin{eqnarray*} f(x)=x².... g(y)=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Danke
[attach]35716[/attach]

15.10.2014, 22:45

Yakyu

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Hi,
zu deinen Fragen:

zu 1) mit x ist ein Element aus dem Definitionsbereich gemeint also entspricht x einem ...?

zu 2) Schau dir nochmal deine Abbildungen an du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} f \circ g: X \to Z \end{eqnarray*}$

zeige außerdem, dass es tatsächlich die Umkehrfunktion ist.

b) sieht in Ordnung aus, wenn du noch den Definitionsbereich der Funktionen angeben würdest.

17.10.2014, 10:59

winki2008

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Danke für deine Antwort

Zu Frage 1)

Aber Kreise in der Ebene würden bedeuten, dass die Funktion weder injektiv noch surjektiv wäre wenn man $\begin{eqnarray*} f_x: \mathbb R \to\mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet.
Bei $\begin{eqnarray*} f_x: \mathbb R \to\mathbb R+ \end{eqnarray*}$ .....Funktion wäre surjektiv
Kreise in der Ebene können injektiv sein, aber auch nicht.

$\begin{eqnarray*} \left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

was muss man da alles ergänzen?

zu Frage 2)

$\begin{eqnarray*} f:X \to Y...........f^{-1}:Y \to X g:Y \to Z....................g^{-1}:Z\to Y \end{eqnarray*}$

Annahme beide Funktionen sind bijektiv.

Ich weiß die Verkettung: (sieh http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion unter Eigenschaften) lautet
$\begin{eqnarray*} g \circ f : X \rightarrow Z \end{eqnarray*}$

heißt das die Verkettung: $\begin{eqnarray*} f \circ g : Y \rightarrow Y =idy \end{eqnarray*}$ ist

Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \circ g : Y \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ f^{-1}=Y \rightarrow Y . \end{eqnarray*}$

Also wahre Aussage

Gehört es vl. doch so?

18.10.2014, 12:26

winki2008

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oder wie gehört es wirklich?

19.10.2014, 21:02

Stephan Kulla

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Zitat:

Aber Kreise in der Ebene würden bedeuten, dass die Funktion weder injektiv noch surjektiv wäre wenn man $\begin{eqnarray*} f_x: \mathbb R \to\mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet.

Richtig

Zitat:

Bei $\begin{eqnarray*} f_x: \mathbb R \to\mathbb R+ \end{eqnarray*}$ .....Funktion wäre surjektiv

Richtig

Problem in deiner Schreibweise: Du musst unbedingt $\begin{eqnarray*} f: \{\text{Kreise der Ebene}\} \to\mathbb R+ \end{eqnarray*}$ schreiben, weil die Menge der Kreise der Ebene und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Definitionsmenge ist.

Zitat:

Kreise in der Ebene können injektiv sein, aber auch nicht.

Leider muss ich dir hier sagen, dass dieser Satz kein Sinn macht. Was meinst du? Schau dir ggf noch einmal an, was Injektivität bedeutet. (PS: Kein Problem, es ist normal Begriffe falsch zu verwenden, wenn man sie gerade erst gelernt hat. Augenzwinkern

Durch solche Fehler lernt man ja...)

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