Beweis - Induktion

16.10.2014, 08:45

Michi123

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Beweis - Induktion

Meine Frage:
Guten Morgen zusammen,

ich habe eine Aufgabe welche mir doch so einige Schwierigkeiten bereitet. Beweisen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} 9^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ ist durch 8 teilbar für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Meine Ideen:
Leider keinen Ansatz :-(

16.10.2014, 09:02

tmo

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Nun ja es ist $\begin{align*} 9^{n+1} - 1 = 8 \cdot 9^n + 9^n -1 \end{align*}$ .

Das ist eigentlich schon alles, was du im Induktionsschrit brauchst.

16.10.2014, 09:09

Michi123

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Sorry, ich weiß gerade nicht was du damit meinst. Ich kenne nur die Sache, wo ich halt eine Gleichung habe und dann die beiden Seiten mit Induktionsanfang und Induktionsschritt überprüfe.

16.10.2014, 09:32

tmo

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Aber generell weißt du wie eine Induktion funktioniert?

Dann schau dir meine Umformung nochmal an.

Von der linken Seite willst du im Induktionschritt zeigen, dass sie durch 8 teilbar ist. Und jetzt schau dir mal die rechte Seite und denke daran, was wir ja in der Induktionsvoraussetzung voraussetzen.

16.10.2014, 09:39

Michi123

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Die linke Seite ist mir klar, da ja n mit n+1 ersetzt werden muss. Bei der rechten Seite komme ich nicht ganz mit.

16.10.2014, 09:42

RavenOnJ

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8+1=9 rausfaktorisiert.

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16.10.2014, 10:08

Michi123

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Sorry, ich komme einfach nicht mit, was auf der rechten Seite durchgeführt wird.

16.10.2014, 10:14

klarsoweit

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RE: Beweis - Induktion
Vielleicht nochmal kurz, was im Induktionsschritt zu zeigen ist:

Sei $\begin{eqnarray*} 9^n - 1 \end{eqnarray*}$ für ein n durch 8 teilbar. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} 9^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$ durch 8 teilbar.

Dazu formt man den Ausdruck $\begin{eqnarray*} 9^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$ geeignet um, damit man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei der Umformung helfen einem die Potenzregeln:

$\begin{eqnarray*} 9^{n+1} - 1 = 9 \cdot 9^n - 1 = ... \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 10:26

Michi123

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Vielen Dank, jetzt wird es schon einmal klarer. Nur den letzten Schritt mit den Potenzgesetzen verstehe ich noch nicht. Warum steht hier 9*9^n - 1 ?

16.10.2014, 10:30

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} 9^{n+1}=9\cdot 9 ^n \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 10:41

Michi123

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Vielen Dank, jetzt habe ich es gecheckt :-)

Freude

Freude

Freude

16.10.2014, 14:31

Michi123

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Ich bräuchte doch bitte noch einmal Hilfe von Euch. Wie schreibe ich das jetzt am Besten auf, damit mir da in der Klausur nicht Punkte für Formfehler abgezogen werden?

16.10.2014, 16:13

Gast11022013

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Dann zeig doch mal wie du es aufgeschrieben hättest.

Edit: Oh, tmo ist ja online

16.10.2014, 16:31

Michi123

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Mein Problem ist, dass ich nicht einmal den Induktionsanfang hinbekomme, der Rest wäre für mich dann eher machbar.

Was ich bis jetzt verstanden habe, findest du im Bild smile

smile

16.10.2014, 16:46

Gast11022013

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Hmm, dann scheinst du bisher leider wenig verstanden zu haben.
Diese Gleichung macht nämlich keinen Sinn.

Für den Induktionsanfang musst du n=0 (oder n=1 falls Null für euch keine natürliche Zahl) in den "Ausdruck" einsetzen und stumpf ausrechnen.
Dann musst du nur noch gucken ob das was du erhältst du 8 teilbar ist.

16.10.2014, 16:51

Michi123

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Die 0 zählt bei uns nicht als natürliche Zahl. Also muss ich nur rechnen:

$\begin{eqnarray*} 9^{n} - 1 => 9^{1} - 1 = 8 \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 17:00

Gast11022013

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Ja, wobei du es eher so aufschreiben solltest.

Induktionsanfang:

n=1

$\begin{eqnarray*} 9^1-1=8 \end{eqnarray*}$

Und 8 ist offensichtlich durch 8 teilbar.

Nun formuliere die Induktionsvoraussetzung und führe dann den Induktionsschritt durch. Für den Induktionsschritt hatten dir tmo und RavenOnJ schon die nötigen Hinweise gegeben.

16.10.2014, 17:07

Michi123

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Ich kann das gerade nicht wirklich umsetzen, da ich bisher nur immer Gleichungen der folgenden Art gelöst habe:

1+2+3+....+n = n(n+1)
Bei diesen Gleichungen wusste ich halt, dass, wenn der Induktionsanfang stimmt, ich die linke Seite zum Teil mit der rechten ersetzen durfte (unter Voraussetzungen natürlich)

Wäre dann der Ansatz bei mir jetzt:

$\begin{eqnarray*} 9^{n} - 1 = 9^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 17:25

Gast11022013

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Zitat:

1+2+3+....+n = n(n+1)

Das wäre übrigens falsch.

Nein, das wäre nicht dein Ansatz. Denn diese Gleichung macht keinen Sinn.

Dein Ansatz wäre

$\begin{eqnarray*} 9^{n+1}-1=...=... \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt rumrechnen. Wie das geht, da haben wir tmo und RavenOnJ schon viel geholfen. Das war ja eigentlich auch schon abgeschlossen. Du musst es nur noch einmal hinschreiben.

16.10.2014, 17:31

Michi123

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Das war dann der Teil mit:

$\begin{eqnarray*} 9^{n+1} -1 = 8*9^{n} + 9^{n} -1 \end{eqnarray*}$

Die linke Seite verstehe ich ja noch, da aus n = n+1 wird. Aber bei der rechten Seite komme ich einfach nicht mit, wo auf einmal die ganzen Zahlen herkommen.

PS: Vielen Dank für deine Geduld Freude

Freude

16.10.2014, 17:41

Gast11022013

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Naja, das wurde dir doch schon erklärt. Ließ dir gegebenenfalls noch einmal die Antworten durch die dir tmo und RavenOnJ gegeben haben.

Diese Umformungen sollten eigentlich auch sitzen. Das sind erstmal nur Potenzgesetze und dann eine Addition.

Bei einer Induktion versucht man ja immer die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.

Die Induktionsvoraussetzung hier ist, dass $\begin{eqnarray*} 9^n-1 \end{eqnarray*}$ für beliebige natürliche n durch 8 teilbar ist. Das wollen wir benutzen.

Zitat:

Die linke Seite verstehe ich ja noch, da aus n = n+1 wird.

Auch das ist wieder sehr suboptimal formuliert...

16.10.2014, 17:50

Michi123

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Sorry, ich check's einfach nicht (auch trotz des Durchlesens)

Das heißt, ich muss:

$\begin{eqnarray*} 9^{n}-1 = 9^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$

schreiben?

16.10.2014, 17:51

Gast11022013

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Nein, das sage ich dir nun auch schon zum dritten mal eigentlich.
Wie kommst du überhaupt darauf es so aufzuschreiben?

16.10.2014, 17:54

Michi123

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Das dachte ich mir eben auch, dass es so nicht stimmen kann. Nur verstehe ich persönlich einfach nicht, warum auf der rechten Seite dann auf einmal 8*9 .....

steht?

16.10.2014, 17:58

Gast11022013

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Das liegt wahrscheinlich auch daran, dass du schon einen Schritt zu weit bist.

Beantworte mal meine "Warum"-Fragen:

$\begin{eqnarray*} 9^{n+1}-1=9\cdot 9^n-1 \end{eqnarray*}$ Warum?

$\begin{eqnarray*} 9\cdot 9^n-1=8\cdot 9^n+9^n-1 \end{eqnarray*}$ Warum?

16.10.2014, 18:00

Michi123

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Die erste Zeile sind ja die Potenzgesetze, das verstehe ich noch. Bei der zweiten muss ich aber schon passen.

16.10.2014, 18:04

Gast11022013

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Ok.

Schreiben wir einmal für 9^n=a um dir optisch dabei zu helfen was da passiert.

Dann machen wir nur folgendes:

9a=8a+1a

Erkennst du nun wie es zustande kommt?

16.10.2014, 18:06

Michi123

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Ehrlich gesagt, nein unglücklich

unglücklich

16.10.2014, 18:10

Gast11022013

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Hmm...

Wie hast du denn seit der achten sowas

x+2x=...

addiert?

16.10.2014, 18:13

Michi123

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Ja , das verstehe ich schon, nur kann ich es nicht auf die zweite Zeile von dir anwenden.

Ich weiß nicht, ob wir aneinander vorbeireden, ich kenne halt nur solche Gleichungen:

youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58

Und wenn dann sowas wie bei mir $\begin{eqnarray*} 9^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ kommt, weiß ich damit nichts anzufangen.

16.10.2014, 18:18

Gast11022013

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Nochmal:

Wenn wir für $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ einfach ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ schreiben, dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} 9\cdot \underbrace{9^n}_a=9a=8\underbrace{a}_{9^n}+\underbrace{a}_{9^n}=8\cdot 9^n+9^n \end{eqnarray*}$

Alternativ kannst du dir diese Umformung auch mit ausklammern von 9^n klar machen.
Bzw. wird dieses "Rechengesetz" meines Wissens nach auch im Thema Potenzgesetze behandelt.

16.10.2014, 18:22

Michi123

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Jetzt hat's gescheppert. Ich habe das immer falsch angesehen, wollte eher miteinander multiplizieren, aber das funktioniert ja bezüglich der Potenzgesetze nicht, bzw. dann komme ich ja wieder auf mein vorheriges Ergebnis.

Vielen Dank schon einmal für deine Hilfe. Ich muss jetzt leider zum Zug und bin erst morgen wieder online.

Wink

Wink

16.10.2014, 18:36

Gast11022013

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Gern geschehen.

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