Zahlenpaare einer Menge

16.10.2014, 11:53

StudentinnenNeuling

Zahlenpaare einer Menge

Meine Frage:
Ein herzliches 'Hallo' an das Matheboard,

ich hoffe die Eingabe funktioniert.

$\begin{eqnarray*} a) (1+x^2-2x) \cdot \frac{x^2+x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) (16 \sqrt{a^6 b^7}) : (4 \sqrt{a^4 b^5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \frac{a^2 - b^2}{4a^2 + 4ab} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \frac{(\frac{x^2-y^2}{x})}{x+y} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung lautet: Zu jedem Term geben Sie die Menge D aller Zahlenpaare an, für die der Term sinnvoll definiert ist und vereinfachen Sie ihn anschließend so weit wie möglich!

Meine Ideen:
Unter einem Zahlenpaar verstehe ich ein Tupel, bei den Aufgaben entsprechend ein 2er-Tupel?
Was heißt jetzt sinnvoll? Dass es nicht Null wird?

Ich habe jetzt erstmal einfach umgeformt, wobei ich das Feld von hinten aufrolle.

$\begin{eqnarray*} d) \frac{(\frac{x^2-y^2}{x})}{x+y}=\frac{(\frac{(x-y)\cdot(x+y)}{x})}{x+y}=\frac{(x-y)\cdot(x+y)}{(x+y)\cdot x}=\frac{x-y}{x}=1-\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$
Zuerst sollte ich aber angeben für welche Zahlenpaare der Term sinnvoll definiert ist. Ich würde sagen für alle x außer für die x=-y gilt, gesehen jetzt von der Ausgangsposition?

Bevor ich mich in den anderen Teilaufgaben verenne, wollte ich mal fragen ob meine Überlegungen richtig sind? Ich hoffe meine Ideen reichen aus.

Liebe Grüße

Anja

16.10.2014, 12:06

klarsoweit

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RE: Zahlenpaare einer Menge

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Unter einem Zahlenpaar verstehe ich ein Tupel, bei den Aufgaben entsprechend ein 2er-Tupel?

Nun ja, außer eben bei Aufgabe a. smile

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Was heißt jetzt sinnvoll? Dass es nicht Null wird?

Sinnvoll heißt, daß der Ausdruck definiert ist.

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Ich habe jetzt erstmal einfach umgeformt, wobei ich das Feld von hinten aufrolle.

Umformungen sind in der Regel nicht erforderlich. Unter Umständen verfälschen die sogar die Definitionsmenge.

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Ich würde sagen für alle x außer für die x=-y gilt, gesehen jetzt von der Ausgangsposition?

Genauer: definiert für alle Paare (x, y) mit x ungleich -y. smile

16.10.2014, 12:08

Iorek

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Hallo und willkommen im Matheboard,

die Aufgabe scheinst du soweit richtig verstanden zu haben. Du sollst alle möglichen Kombinationen von Tupeln bestimmen, für die die gegebenen Terme sinnvoll definiert sind (bei Aufgabe a) ist das etwas unglücklich formuliert, da werden es keine Tupel sein). Es gibt einige Grundgesetze der Mathematik, die man nicht brechen sollte. Das muss auch immer für den unverfälschten Ausdruck geprüft werden, Umformungen sollten also wenn überhaupt erst nach der Bestimmung der Definitionsmenge gemacht werden, da diese sonst verfälscht werden kann.

Warum würdest du bei d) alle x=-y ausschließen wollen? Könntest du das noch etwas näher erläutern? Und: sieh noch einmal etwas genauer hin, es muss noch etwas mehr ausgeschlossen werden. smile

Edit: Das war etwas zu spät, ich überlasse dir das Feld. Augenzwinkern

16.10.2014, 12:17

URL

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Wobei man bei a) noch sagen könnte, dass die zweite Variable y einfach nicht explizit auftaucht

16.10.2014, 12:57

StudentinnenNeuling

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Hallo, danke Euch sehr.

Ja bei d) muss außerdem gelten, dass x ungleich Null sein muss. Wie gebe ich jetzt aber z.B. die Menge aller Zahlenpaare an?

$\begin{eqnarray*} \lbrace \mathbb R \times \mathbb R \rbrace \backslash \lbrace x=-y \wedge x \neq 0\rbrace \end{eqnarray*}$

Wobei mir diese Notation unüblich erscheint. Ja bei a) gibt es kein y, was mir auf einen Tippfehler hindeuten muss aber, vllt bekomme ich noch die Info.

Anja

16.10.2014, 13:33

Iorek

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Da klarsoweit anscheinend offline ist:

Deine Notation ist so auch noch nicht korrekt. Bei $\begin{eqnarray*} \{\mathbb R\times\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ sind die äußeren Mengenklammern falsch. Das ist jetzt die Menge, die $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ enthält und nicht die angestrebte Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Bei der zweiten Menge ist dagegen überhaupt nicht klar, wo $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ herkommen.

Geh es besser mit der beschreibenden Form einer Menge an: $\begin{eqnarray*} \{(x,y)~|~\dots\} \end{eqnarray*}$ . An die Stelle der Punkte muss du jetzt die Voraussetzungen setzen, die für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gelten sollen.

16.10.2014, 17:42

StudentinnenNeuling

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Da lag ich natürlich falsch. Aber dann steht ja noch nicht fest aus welcher Menge die Paare dann herkommen? Müsste es nicht dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~x=-y \wedge x \neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Weil so würde mir was fehlen:

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)~|~x=-y \wedge x \neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Danke, Anja

16.10.2014, 17:48

Iorek

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Ja, das wäre eine korrekte Möglichkeit. Freude

In der zweiten Menge würde tatsächlich etwas fehlen, das kann man aber auch retten: $\begin{eqnarray*} \{(x,y)~|~x,y\in\mathbb R,x\neq -y,x\neq 0\} \end{eqnarray*}$ . Deine erste Variante ist aber natürlich auch absolut richtig, welche Variante du jetzt nimmst, ist egal. smile

16.10.2014, 18:15

StudentinnenNeuling

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$\begin{eqnarray*} \{(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~a^{2n}\cdot b^{2n-1}>0 \rbrace \end{eqnarray*}$ Jetzt müsste ich noch eig angeben woher die n's kommen.

$\begin{eqnarray*} b) (16 \sqrt{a^6 b^7}) : (4 \sqrt{a^4 b^5}) = \frac{16 \sqrt{a^6 b^7}}{4 \sqrt{a^4 b^5}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a^6 b^7}{a^4 b^5}} = 4 \cdot \sqrt{a^2 b^2} = 4ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~ 4a^2 + 4ab \neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \frac{a^2 - b^2}{4a^2 + 4ab}=\frac{(a-b) \cdot (a+b)}{4a(a + b)}= \frac{a-b}{4a}= \frac{1}{3a}-\frac{b}{4a} \end{eqnarray*}$

(Wobei der letzte Schritt jetzt eig keine Vereinfachung ist)

Grüße, Anja

16.10.2014, 18:20

Iorek

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Ich frage mich gerade eher, woher die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ überhaupt kommen... verwirrt

Zunächst eine Anmerkung zu deiner letzten Vereinfachung, diese ist nämlich falsch. $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{4a}=\frac{a}{4a}-\frac{b}{4a}=\frac 1{4}-\frac b{4a} \end{eqnarray*}$ . Im ersten Bruch kürzt sich das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ komplett raus, es bleiben also nicht $\begin{eqnarray*} 3a \end{eqnarray*}$ im Nenner.

Aber generell solltest du diese Umformungen gar nicht erst machen. Die Definitionsmenge muss immer für den ursprünglichen Term bestimmt werden.

Versuch dich nochmal an der b), lass die Umformungen sein (bzw. den Ausdruck als Bruch zu schreiben ist natürlich in Ordnung) und überleg dir dann, was man einsetzen bzw. nicht einsetzen darf.

16.10.2014, 18:35

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von Iorek
Ich frage mich gerade eher, woher die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ überhaupt kommen... verwirrt

Ja ich wollte damit sagen a hoch eine gerade Zahl multipliziert mit b hoch einer ungeraden Zahl größer Null sein muss. Das geht ja aber auch anders.

Zitat:

Original von Iorek
Zunächst eine Anmerkung zu deiner letzten Vereinfachung, diese ist nämlich falsch. $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{4a}=\frac{a}{4a}-\frac{b}{4a}=\frac 1{4}-\frac b{4a} \end{eqnarray*}$ . Im ersten Bruch kürzt sich das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ komplett raus, es bleiben also nicht $\begin{eqnarray*} 3a \end{eqnarray*}$ im Nenner.

Ja da habe ich einen Bock geschossen der feinsten Sorte, echt peinlich..

Zitat:

Original von Iorek
Aber generell solltest du diese Umformungen gar nicht erst machen. Die Definitionsmenge muss immer für den ursprünglichen Term bestimmt werden.

Versuch dich nochmal an der b), lass die Umformungen sein (bzw. den Ausdruck als Bruch zu schreiben ist natürlich in Ordnung) und überleg dir dann, was man einsetzen bzw. nicht einsetzen darf.

zu c) $\begin{eqnarray*} \{(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~ a \neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

zu b) $\begin{eqnarray*} \{(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~b>0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen, Anja

16.10.2014, 18:45

Iorek

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So ganz stimmt das noch nicht, zwei kleine Fehler sind noch drin.

Bei b) muss noch eine weitere Sache ausgeschlossen werden.

Bei c) wäre das die richtige Definitionsmenge nach der Vereinfachung und Kürzen, das soll ja aber gerade nicht gemacht werden.

16.10.2014, 19:18

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von Iorek
Bei b) muss noch eine weitere Sache ausgeschlossen werden.

Also: $\begin{eqnarray*} \{(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R~|~b>0 \wedge a \neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Iorek
Bei c) wäre das die richtige Definitionsmenge nach der Vereinfachung und Kürzen, das soll ja aber gerade nicht gemacht werden.

B kann doch Null werden ach und es darf nicht sein a=-b dann geht's?

Anja

16.10.2014, 20:43

Iorek

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b) passt jetzt. smile

Gehen wir die c) einmal gemeinsam durch. Der Nenner darf nicht null werden, also gucken wir uns mal an, was wir ausschließen müssen:

$\begin{eqnarray*} 4a^2+4ab=0 \Leftrightarrow 4a(a+b)=0 \Leftrightarrow a=0 \vee a=-b \end{eqnarray*}$

Was muss also alles ausgeschlossen werden? Augenzwinkern

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