Englische Uebungsaufgabe

16.10.2014, 13:46	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Englische Uebungsaufgabe Let $\begin{eqnarray} A: BC^1(\mathbb{R}) \to BC^0(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ (with the usual norms, see also(a) below) be the differentation mapping (Af)(x) = f'(x). Prove that (a)(in preparation of next items) the vector space $\begin{eqnarray} BC^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ with its norms being the sum of sup-norms of function and derivative is a Banch space. (b) A is a bounded linear operator. (c) is A invertible? If not, determine the kernel. $\begin{eqnarray} BC^k(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ sind die k-mal stetig diffbaren Funktionnen, ist das korrekt? Dann muesste diese Abbildung die einmal stetig diffbaren Funktionen aus R auf die nicht stetig diffbaren Funktionen in R abbilden. Kann mir jemand sagen, wie ich bei a anfangen kann. Meiner Ansicht nach muss ich zeigen das $\begin{eqnarray} BC^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ein Banach-Raum ist. aber ich kann mit diesem Satz nix anfangen "with its norms being the sum of sup-norms of function"
16.10.2014, 13:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Englische Uebungsaufgabe Das heißt $\begin{align} \\|f\\|=\\|f\\|_\infty + \\|f'\\|_\infty \end{align}$
16.10.2014, 14:38	derdickederbande	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} BC^p \end{eqnarray}$ sind die p-mal diff'baren und beschränkten Funktionen gemeint. Sonst exisitiert ja auch die sup-Norm im Allgemeinen nicht. $\begin{eqnarray} BC^0 \end{eqnarray}$ ist ein Sonderfall. Das ist der Raum der stetigen, beschränkten Funktion. Die dürfen im Übrigen auch diff'bar sein; das ist nicht ausgeschlossen.

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