Abstand zweier windschiefer Geraden

16.10.2014, 13:57

Durcheinander

Abstand zweier windschiefer Geraden

Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 km befindet sich ein erstes Flugzeug zum Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ein Zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte.
Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

b) Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

Mein Ansatz:
1. Geradengleichungen der Flugbahnen aufstellen

$\begin{eqnarray*} f_{1}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \frac{300}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 34,2 \\ 15,3\end{pmatrix} + t \cdot \frac{400}{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ebenso wenig der Normalenvektor (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ab diesem Punkt weiß ich nicht mehr wie ich bestimmen kann, in welchen Punkten sich die Flugbahnen am nächsten kommen und wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Lugzeuge an diesem Punkt.
Zu b) soll ich eine Gleichung in Funktion von t (Zeit) so aufstellen, dass ich damit den Zeitpunkt berechne zu dem der Abstand zwischen beiden Flugzeugen am kleinsten ist?

Danke für eure Hilfe. Es fällt mir nichts ein, wie ich weiter diese Aufgabe lösen kann.

Erklärt mir bitte ausführlich

Grüße

Durcheinander

16.10.2014, 19:45

Tesserakt

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Zur Teilaufgabe a):
Ist $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Gemeinlotvektor der windschiefen Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und sind $\begin{eqnarray*} G_g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_h \end{eqnarray*}$ die Punkte, in welchen sich die Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ am nächsten kommen, so gilt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{G_gG_h} = k \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$ für eine geeignete reelle Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir drei Gleichungen in drei Unbekannten.

16.10.2014, 20:08

Bjoern1982

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Wer es noch etwas einfacher mag, der wählt die Alternative:

$\begin{eqnarray*} \vec{G_gG_h} * \vec{r_g}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{G_gG_h} * \vec{r_h}=0 \end{eqnarray*}$

Hier bezeichnet der Stern das Skalarprodukt zweier Vektoren und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r_h} \end{eqnarray*}$ stehen stellvertretend für die Richtungsvektoren der Geraden g und h.

Grundgedanke ist eben, dass die entsprechenden Vektoren orthogonal zueinander liegen müssen.
Damit entstehen damit dann nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Übrigens ist das Normieren der Richtungsvektoren an dieser Stelle noch gar nicht nötig (und aus rechentechnischen Gründen auch eher störend), da es im ersten Teil von a) nur um die Geradenpunkte der Flugbahnen geht, unabhängig davon wo sich die Flugzeuge gerade befinden.

Zudem wähle bitte für a) auch unbedingt unterschiedliche Geradenparameter.
Bei b) kannst du die Parameter dann beide t nennen und den Betrag des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{G_gG_h} \end{eqnarray*}$ bilden, welcher dir in Abhängigkeit von t allgemein die Entfernung der beiden Flugzeuge angibt.

16.10.2014, 22:04

Durcheinander

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Hallo Bjoern1982,

wie kann ich die Punkte Gg und Hh bestimmen, sodass der Vektor GH berechnen kann und dann das Skalarprodukt wie empfohlen bekommen?

Danke für deine Hilfe.

Grüße

Durcheinander

16.10.2014, 23:10

Bjoern1982

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Ich verstehe deine Frage nicht.

Falls du Probleme hast, einen allgemeinen Geradenpunkt aufzuschreiben, für die Gerade $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lautet ein allgemeiner Punkt $\begin{eqnarray*} G_g(s|2s|s) \end{eqnarray*}$
Analog geht das für die andere Gerade.

17.10.2014, 22:44

hawe

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Hallo zusammen,

ich finde die bisherigen Antworten wenig hilfreich...

Durcheinander hat schon schöne Geraden mit dem entsprechenden Geschindigkeitsfaktor aufgestellt.
Berechnen nun den Anstand zweier allgemeiner Geradenpunkte das ergibt eine Funktion
f(t) = (f1z-f2z)^2+(f1y-f2y)^2+(f1x-f2x)^2
Brechne den TIP dieser Funktion, was dem minimalen Abstand entspricht.
Du erhälst für
t=0.041868802088215 (h)
und damit für den Abstand
d = 39.67074343511773 (km)

Gruß HW

17.10.2014, 22:52

Tesserakt

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Entschuldige, aber gefragt ist nach dem Abstand der Geraden, nicht nach dem minimalen Abstand der Flugzeuge.

17.10.2014, 22:54

Bjoern1982

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Zitat:

ich finde die bisherigen Antworten wenig hilfreich...

Offenbar hast du sie dann nicht verstanden. Hier steht bereits alles, was nötig ist, um die Aufgaben zu lösen.
Lag evtl auch daran, dass du ziemlich in Eile bist - so zumindest wären deine zahlreichen Tippfehler zu erklären.

Was du nun mit deiner Formel jetzt noch groß sagen wolltest, ist mir auch recht schleierhaft, denn das steht hier ja auch bereits:

Zitat:

Bei b) kannst du die Parameter dann beide t nennen und den Betrag des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{G_gG_h} \end{eqnarray*}$ bilden, welcher dir in Abhängigkeit von t allgemein die Entfernung der beiden Flugzeuge angibt.

Von daher kann man deinen Beitrag eigentlich nur als das Ergebnis purer Langeweile deuten. verwirrt

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