Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

16.10.2014, 14:15

Unwissende95

Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe hier zwei Übungsaufgaben mit denen ich Probleme habe.

1) Angenommen, Sie kennen den Wert von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie damit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

2) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
1) Ich habe mir zuerst überlegt, dass ich das ja mit einem konkreten Zahlenbeispiel machen könnte. Ich habe dann einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Beispiel genommen. Wenn man das dann auflöst mit $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!*k!} \end{eqnarray*}$ kommt 3 raus. Naja und dann dachte ich, ich könnte einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3+1 \\ 2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ machen. Wenn man das dann wieder auflöst kommt 4 raus. Aber ich weiß nicht, was ich dann mit diesen Werten anfangen soll, wie ich sie interpretieren soll, oder ob das mit dem Zahlenbeispiel nicht doch totaler Schwachsinn ist.

Ich habe dann auch versucht, das einfach allgemein aufzuschreiben. Aber damit weiß ich dann auch nichts anzufangen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n+1!}{((n+1)-(k+1))!*(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt bin ich mir nichtmal sicher, ob ich die Aufgabe ansich überhaupt verstanden habe. Ich weiß nicht so recht, was ich machen soll, wie ich anfangen soll.

2) Ich denke, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergeben soll. Aber wie kommt man da rechnerisch drauf?

16.10.2014, 14:30

Math1986

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RE: Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient
Der Ansatz war doch schonmal richtig:
$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k+1}= \frac{(n+1)!}{((n+1)-(k+1))!\cdot (k+1)!}= \frac{(n+1)!}{(n-k)!\cdot (k+1)!}=\frac{n+1}{k+1}\cdot\binom nk \end{eqnarray*}$

Deine Vermutun
$\begin{eqnarray*} \binom nk+\binom n{k+1}= \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$
ist auch richtig Da musst du eben auch ein wenig umformen, oder Verwenden, dass der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom nk \end{eqnarray*}$ gerade die Anzahl k-elemetiger Teilmengen einer n-elementigen Menge angibt.

16.10.2014, 15:00

Unwissende95

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RE: Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient
Den ersten Schritt verstehe ich, da muss man ja einfach nur die Minusklammer auflösen und 1-1 gibt ja 0 deswegen kann man dann unter dem Bruchstrich (n-k)! schreiben. Das mit den Minusklammern auflösen vergesse ich leider oft =( Aber den nächsten Schritt verstehe ich nicht. Müsste das nicht so sein: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!}*(n-k)! \end{eqnarray*}$ ?

16.10.2014, 15:12

Math1986

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RE: Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

Zitat:

Original von Unwissende95
Aber den nächsten Schritt verstehe ich nicht. Müsste das nicht so sein: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!}*(n-k)! \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Es ist doch: $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$ .

Schau dir doch noch einmal an wie die Fakultät definiert ist.

Ich verstehe auch nicht ganz was du meinst. Meinst du etwa:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-k)!\cdot (k+1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!}*(n-k)! \end{eqnarray*}$

Wenn ja: Warum sollte das $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ auf einmal vom Nenner in den Zähler wandern? verwirrt

16.10.2014, 15:35

Unwissende95

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RE: Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

Zitat:

Original von Math1986
Ich verstehe auch nicht ganz was du meinst. Meinst du etwa:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-k)!\cdot (k+1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!}*(n-k)! \end{eqnarray*}$

Wenn ja: Warum sollte das $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ auf einmal vom Nenner in den Zähler wandern? verwirrt

Ja, das hab ich gemeint. Ich verstehe nicht, warum man das (n-k)! unter dem Bruchstrich dann einfach weglassen kann und dann einfach schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-k)*(k+1)!} = \frac{n+1}{k+1} * \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und gilt das dann auch für (k+1)! also (k+1)!=(k+1)*k?

16.10.2014, 15:49

Math1986

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RE: Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

Zitat:

Original von Unwissende95

Zitat:

Ja, das hab ich gemeint.

Ich habe dazu eine Frage gestellt. Sie lautete: "Warum sollte das $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ auf einmal vom Nenner in den Zähler wandern?"
Wenn du hier irgendwas behauptest dann solltest du schon begründen können warum du der Meinung bist dass es gilt.

Zitat:

Original von Unwissende95
Ich verstehe nicht, warum man das (n-k)! unter dem Bruchstrich dann einfach weglassen kann und dann einfach schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-k)*(k+1)!} = \frac{n+1}{k+1} * \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also nochmal kleinschrittiger:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n-k)!\cdot (k+1)!}=\frac{n+1}{k+1}\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n+1}{k+1}\cdot\binom nk \end{eqnarray*}$
Da wird überhaupt nichts weggelassen.

Zitat:

Original von Unwissende95
Und gilt das dann auch für (k+1)! also (k+1)!=(k+1)*k?

Ja, natürlich, wenn: $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$ gilt dann gilt auch $\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)\cdot k! \end{eqnarray*}$ , ist ja nur eine Variablenumbenennung.
An dieser Stelle noch einmal der Hinweis, dir die Definition der fakultät anzusehen.

16.10.2014, 17:15

Unwissende95

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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe, ich habe es jetzt verstanden! =)

Zitat:

Und dazu:

Ich habe nichts behauptet, sondern gefragt, ob ein bestimmter Sachverhalt nicht anders sein müsste =) Das hast du verneint und damit war die Sache für mich erledigt =) Trotzdem tut es mir Leid, dass ich deine Frage nicht beantwortet habe, das werde ich jetzt nachholen:

Ich habe versucht, mir zu erklären, was mit dem (n-k)! passiert ist und dachte, ich könnte das da aus dem Bruch rausmultiplizieren. Das war wohl sehr schwachsinnig von mir, aber deswegen bin ich ja hier um Hilfe zu bekommen =) Man muss mir in der Mathematik viele Dinge mehrfach erklären oder auch detaillierter, damit ich sie verstehe, aber dafür nehme ich mir auch die Zeit =)

Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!

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