Kleinste Sigma Algebra

16.10.2014, 15:24

MartinKP

Kleinste Sigma Algebra

Hi ich hoffe ihr könnt mir bei meinem ersten Problem helfen Big Laugh

Meine Aufgabe lautet:

Geben sie die kleinste Sigma-Algebra Sigma(Epsilon) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ P(Omega) an, welche durch das folgende Mengensystem erzeugt wird:

Omega := $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} \end{eqnarray*}$ , Epsilon := $\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 1, 3\right\}, \left\{ 1, 4 \right\} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Wie genau berechne ich diese? Big Laugh

16.10.2014, 15:30

HAL 9000

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Es ist ziemlich schnell klar, dass diese Sigma-Algebra hier gleich der Potenzmenge von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ist. Das sieht man z.B. dadurch, dass alle Einermengen {1}, {2}, {3}, {4} drin enthalten sind, was wiederum über wenige Operationen (Durchschnitt, Vereinigung, Komplement) gezeigt werden kann.

16.10.2014, 15:31

tmo

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Nunja bilde durch Schnitte, Vereinigungen und Komplemente einfach weitere Mengen aus der Sigma-Algebra. Sobald du mind. 9 Mengen gefunden hast, die drin liegen, kannst du dir sicher sein, dass es die ganze Potenzmenge ist.

20.10.2014, 12:11

MartinKP

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also folgt daraus einfach:

a(Epsilon) = $\begin{eqnarray*} \left\{ leere Menge, \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 1, 3\right\}, \left\{ 1, 4\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 2, 4\right\}, \left\{ 2, 3\right\}, \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

hab zu der Aufgabe noch eine Frage Big Laugh

In der Teilaufgabe b soll ich 2 Sigma-Algebren A und B auf der Menge Omega := $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} \end{eqnarray*}$ angeben, so dass A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B keine Sigma-Algebra ist.

Ich hab es so verstanden, dass ich A und B wähle so das bei der Vereingung z.B.
$\begin{eqnarray*} \left\{ 4, 3, 2\right\} \end{eqnarray*}$ beihaltet und das Komplement von diesem also $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ nicht in der Vereinigung ist, wodurch dies keine Sigma Algebra ist.

Wie wähle ich dann am besten A und B?

Danke für die vorherigen Antworten smile

21.10.2014, 12:27

tmo

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Zitat:

Original von MartinKP
also folgt daraus einfach:

a(Epsilon) = $\begin{eqnarray*} \left\{ leere Menge, \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 1, 3\right\}, \left\{ 1, 4\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 2, 4\right\}, \left\{ 2, 3\right\}, \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist keine Sigma-Algebra.

Wir haben dir doch beide unabhängig voneinander zu verstehen gegeben, dass als erzeugte Sigma-Algebra die komplette Potenzmenge herauskommt. Du solltest versuchen das nachzuvollziehen.

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