injektiv zeigen

16.10.2014, 17:23

originals

injektiv zeigen

Guten Tag,
da ich mit den formeleditor nicht gut umgehen kann
benutzte ich Fotos

Wir haben eine funktion f gegeben und zu zeigen ist
wenn f injektiv dann gilt
f(a geschnitten b)=f(a) und f(b)
[attach]35725[/attach]

16.10.2014, 21:03

supernova1604

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RE: injektiv zeigen
Wie ist Injektivität erstmal definiert? Ich würde damit anfangen smile

16.10.2014, 22:26

Originals

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RE: injektiv zeigen

Zitat:

Original von supernova1604
Wie ist Injektivität erstmal definiert? Ich würde damit anfangen smile

f ist Injektiv
f(x1)=f(x2)
Dann folgt x1=x2
Das habe benutzt beim Beweis mit es gibt genau ein x sodass f(x)=y

16.10.2014, 23:25

supernova1604

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RE: injektiv zeigen
Ja ok, die eine Richtung hast du ja. Dies gilt übrigens für jede Funktion und sie muss nicht unbedingt injektiv sein. Jetzt muss du noch die andere Richtung zeigen: $\begin{eqnarray*} f\left(A\right) \cap f\left(B\right) \subseteq f\left(A\cap B\right) \end{eqnarray*}$ und das gilt tatsächlich nur für injektive Funktionen.
Nimm jetzt ein $\begin{eqnarray*} y\in f\left(A\right) \cap f\left(B\right) \end{eqnarray*}$ . Das heisst $\begin{eqnarray*} y\in f\left(A\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in f\left(B\right) \end{eqnarray*}$ . Und jetzt muss du die Injektivität der Funktion ausnutzen und zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} y \in f\left(A\cap B\right) \end{eqnarray*}$ gilt.

16.10.2014, 23:50

Dopap

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RE: injektiv zeigen

Zitat:

Original von supernova1604
[...] Dies gilt übrigens für jede Funktion [...]

versteh ich nicht. Aus der Gleichheit der Bilder folgt doch bei einer Funktion nicht, dass die Urbilder gleich sein müssen.

17.10.2014, 00:01

Guppi12

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@Dopap: Gemeint ist, dass die eine Inklusion für jede Funktion gilt und nicht nur für injektive.

17.10.2014, 00:08

Dopap

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verteh' ich nicht.

was bedeutet "die eine Inklusion"

17.10.2014, 00:16

Guppi12

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Die Relation $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ heißt Inklusion. Deswegen spricht man auch davon, "die beiden Inklusionen zu zeigen", wenn man $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \subseteq f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ zeigt. Meint man jetzt nur eine von beiden Inklusionen, so sagt man halt "die eine Inklusion". Eine von diesen Inklusionen gilt nun nicht nur für injektive Funktionen, sondern für alle Funktionen und das ist gemeint.

Um es also nochmal komplett alleinstehend zu formulieren:

Die Beziehung $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ gilt für jede Funktion.

Das ist, was supernova gesagt hat.

17.10.2014, 16:13

Dopap

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aha! Könnte man nicht, da eine Funktion vorausgesetzt wird, auf eine Inklusion verzichten und die Zweite zu

$\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ verschärfen ?

oder besteht hier die Gefahr, dass man evtl. nicht von Links nach rechts argumentiert ?

17.10.2014, 16:22

Mulder

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Zitat:

Original von Dopap
aha! Könnte man nicht, da eine Funktion vorausgesetzt wird, auf eine Inklusion verzichten und die Zweite zu

$\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ verschärfen ?

Wie, verschärfen? Das ist doch jetzt genau das, was hier bewiesen werden soll. Und wenn man die Gleichheit zweier Mengen X,Y nachweisen will, macht man das doch im Allgemeinen so, dass man zeigt, dass X in Y enthalten ist und Y in X enthalten ist. Daraus folgt die Gleichheit von X und Y. Das ist auch hier die Beweisstrategie.

17.10.2014, 16:34

Dopap

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ja, danke!

Aus der Gültigkeit beider Inklusionen folgt die Gleichheit der Mengen. Ähnlich wie bei

$\begin{eqnarray*} x\leq y \land y \leq x \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

wenn's stimmt, dann hätte ich es endlich auch verstanden. Schläfer

17.10.2014, 17:32

originals

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gut danke
hab den rest allein hinbekommen

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