Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

16.10.2014, 18:58

Matt99

Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

N'abend, ich mal wieder.

Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} G = \{ 1, 2, 3 \} \end{eqnarray*}$
Ich hab in den Aufgaben erkannt, dass $\begin{eqnarray*} R = \{(1,1), (2,2), (2,3), (3,2)\} \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation auf G ist, da hier Reflexivität, Symmetrie und Transivität vorhanden. Nun muss man hier den Quotientenraum, Restklassen und das Repräsentantensystem angeben. Und genau da steh ich aufm' Schlauch. Keiner dieser Begriffe sagt mir so wirklich was (Restklassen = Äquivalenzklassen?) und durch googlen wurde ich auch nicht schlauer. Wie wäre es bei diesem Beispiel?

Nachtrag: Im Nachhinein bin ich mir nicht mehr ganz so sicher, ob dies eine Äquivalenzrelation ist, da (3,3) fehlt...
Angenommen dies ist keine Äquivalenzrelation, sei das gegeben $\begin{eqnarray*} R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\} \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 19:52

Stephan Kulla

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

Zitat:

Original von Matt99
N'abend, ich mal wieder.

Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} G = \{ 1, 2, 3 \} \end{eqnarray*}$
Ich hab in den Aufgaben erkannt, dass $\begin{eqnarray*} R = \{(1,1), (2,2), (2,3), (3,2)\} \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation auf G ist, da hier Reflexivität, Symmetrie und Transivität vorhanden. Nun muss man hier den Quotientenraum, Restklassen und das Repräsentantensystem angeben. Und genau da steh ich aufm' Schlauch. Keiner dieser Begriffe sagt mir so wirklich was (Restklassen = Äquivalenzklassen?) und durch googlen wurde ich auch nicht schlauer. Wie wäre es bei diesem Beispiel?

Quotientenraum = Menge aller Äquivalenzklassen
Restklasse = Äquivalenzklasse
Repräsentatensystem = Nehme aus jeder Äquivalenzklasse ein beliebiges Element (=Repräsentat) und bilde daraus eine Menge

(das Repräsentantensystem ist nicht eindeutig. Es gibt im allgemeinen mehrere mögliche Repräsentantensysteme)

Zitat:

Nachtrag: Im Nachhinein bin ich mir nicht mehr ganz so sicher, ob dies eine Äquivalenzrelation ist, da (3,3) fehlt...

Richtig, ohne (3,3) ist R keine Äquivalenzrelation.

Zitat:

Angenommen dies ist keine Äquivalenzrelation, sei das gegeben $\begin{eqnarray*} R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\} \end{eqnarray*}$

Du beweist zunächst die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität. Am einfachsten geht es, wenn du den Relationsgraphen aufzeichnest. Der Graph sollte dann in disjunkte Teilgraphen zerfallen. Zwischen den Teilgraphen gibt es keine Verbindungen, aber innerhalb der Teilgraphen ist jedes Element mit jedem anderen Element des Teilgraphen verbunden.

Ein Beispiel wie der Relationsgraph im Fall einer Äquivalenz aussieht, siehst du in dieser Abbildung.

16.10.2014, 19:58

Matt99

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Quotientenraum = Menge aller Äquivalenzklassen
Restklasse = Äquivalenzklasse

Wenn ich als Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} R = \{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\} \end{eqnarray*}$ (von $\begin{eqnarray*} G = \{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ ) ausfindig gemacht hab, ist die Restklasse dann
$\begin{eqnarray*} [0] = \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [1] = \{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [2] = \{2,1\} \end{eqnarray*}$
?
Wie kann ich dies als Quotientenraum dann zusammenfassen?

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Repräsentatensystem = Nehme aus jeder Äquivalenzklasse ein beliebiges Element (=Repräsentat) und bilde daraus eine Menge
(das Repräsentantensystem ist nicht eindeutig. Es gibt im allgemeinen mehrere mögliche Repräsentantensysteme)

Also im oberen Beispiel zB $\begin{eqnarray*} \{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ ?

16.10.2014, 20:06

Stephan Kulla

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum
Beachte, dass [1] = [2] ist. Aus dem Extensionalitätsprinzip für Mengen folgt nämlich, dass die Reihenfolge der Elemente egal ist. Dementsprechend kannst du dein Repräsentantensystem kleiner wählen. (Wie?)

Zum Quotientenraum: Fasse mal alle Äquivalenzklassen in einer Menge zusammen. Beachte dabei [1]=[2].

PS: Die von dir aufgeschriebenen Äquivalenzklassen sind richtig Augenzwinkern

Edit: Doppelpost zusammengeführt. LG Iorek

16.10.2014, 20:09

Matt99

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Beachte, dass [1] = [2] ist. Aus dem Extensionalitätsprinzip für Mengen folgt nämlich, dass die Reihenfolge der Elemente egal ist. Dementsprechend kannst du dein Repräsentantensystem kleiner wählen. (Wie?)

$\begin{eqnarray*} \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ eventuell bzw $\begin{eqnarray*} \{0, 2\} \end{eqnarray*}$ , da [1]=[2] ?

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Zum Quotientenraum: Fasse mal alle Äquivalenzklassen in einer Menge zusammen. Beachte dabei [1]=[2].

Ich komm sowohl beim Quotientenraum, als auch beim Repräsentantensystem auf diese Lösung. $\begin{eqnarray*} \{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ . Ich dreh mich hier gerade etwas im Kreis :/

17.10.2014, 09:37

Stephan Kulla

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ eventuell bzw $\begin{eqnarray*} \{0, 2\} \end{eqnarray*}$ , da [1]=[2] ?

Ich meinte, dass [1] = {1,2}={2,1} = [2] ist. Die Äquivalenzklassen von den Repräsentanten 1 und 2 sind also identisch. Dementsprechend gibt es 2 Äquivalenzklassen, nämlich [1] = {0} und [1] = [2] = {1,2}. Der Quotientenraum lautet damit

$\begin{eqnarray*} \{\,\{0\},\,\{1,2\}\,\} \end{eqnarray*}$

Als Repräsentantensystem hast du zwei Möglichkeiten: {0,1} oder {0,2}

Ich hoffe du kannst jetzt auch obige Erklärung nachvollziehen. Wenn du willst, kannst du jetzt mal probieren, Quotientenraum und ein Repräsentantensystem von $\begin{eqnarray*} R=\{(0,0),\, (1,1),\,(0,1),\,(1,0),\,(2,2),\,(2,3),\,(3,2),\,(3,3)\} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

19.10.2014, 18:06

Matt99

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RE: Äquivalenzrelationen und Quotientenraum

Zitat:

Original von Stephan Kulla

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ eventuell bzw $\begin{eqnarray*} \{0, 2\} \end{eqnarray*}$ , da [1]=[2] ?

Genau dieses Beispiel hab ich zum verstehen gebraucht, vielen Dank!

Zitat:

Original von Stephan Kulla
Ich hoffe du kannst jetzt auch obige Erklärung nachvollziehen. Wenn du willst, kannst du jetzt mal probieren, Quotientenraum und ein Repräsentantensystem von $\begin{eqnarray*} R=\{(0,0),\, (1,1),\,(0,1),\,(1,0),\,(2,2),\,(2,3),\,(3,2),\,(3,3)\} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Äquivalenzklassen: $\begin{eqnarray*} [0]=\{0, 1\}, [1]=\{0, 1\}, [2]=\{2, 3\}, [3]=\{2,3\} \end{eqnarray*}$
Quotientenraum: $\begin{eqnarray*} \{ \{0, 1\}, \{2, 3\} \} \end{eqnarray*}$
Repräsentantensystem: $\begin{eqnarray*} \{0, 2\} (bzw. \{0, 3\} oder \{1, 2\} oder \{2, 3\} \end{eqnarray*}$ also 4 Varianten $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

19.10.2014, 18:32

Stephan Kulla

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Passt Augenzwinkern

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