Teilen für alle n e N

16.10.2014, 20:47

Kavar

Teilen für alle n e N

Hi,
ich komme nicht weiter mit einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mir einen Ansatz geben könnt.

Erstmal zur Aufgabe:
Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 9 | 10^{n} + 3 \cdot 4^{n+2} + 5 \end{eqnarray*}$

Also das 9 das immer teilt ist mir eigentlich klar, aber nicht ganz wie ich es zeigen kann.
Kann ich das irgendwie zerlegen, sodass nur etwas übrig bleibt, dass immer geht?

Gruß,
Kavar

16.10.2014, 20:58

Mathema

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RE: Teilen für alle n e N
Du könntest dein Term ja mal modulo 9 betrachten und $\begin{eqnarray*} 4^{n+2} \end{eqnarray*}$ umschreiben als $\begin{eqnarray*} 4^2 \cdot 4^n \end{eqnarray*}$ . Vielleicht hilft dir das weiter.

Wink

16.10.2014, 21:08

Kavar

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Das macht es schon etwas einfacher.
Allerdings komme ich auch mit
$\begin{eqnarray*} 9|1+21 \cdot 4^{n} +5 \end{eqnarray*}$ nicht wirklich weiter

ich probiere es glaub ich mal mit Induktion?

16.10.2014, 21:10

Mathema

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Was kannst du noch anstatt der 21 schreiben?
Welche Reste haben die 4er Potenzen modulo 9?
Dann bist du eigentlich fertig.

Aber wenn du es mit Induktion machen möchtest nur zu.

Wink

16.10.2014, 21:19

Kavar

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Wenn es sich vermeiden lässt, lieber ohne Induktion...
du meinst sicher das ich es als $\begin{eqnarray*} 9 \cdot 3 \end{eqnarray*}$ schreiben kann!?

Damit hätte ich $\begin{eqnarray*} 9 | 1 + 9 \cdot 3 \cdot 4^{n} +5 \end{eqnarray*}$ was mir eher Kopfschmerzen macht ist aber, dass ich immer noch $\begin{eqnarray*} 4^{n} \end{eqnarray*}$ da stehen habe...

€dit: also das mit den Resten der 4rer Potenzen verstehe ich gerade nicht...
€€dit: die 21 kann ich ja auch dank meinem modulo direkt nur als 3 schreiben..

Hm also 4^n mod 9 kann nur 1,4 oder 7 sein... Aber das ist ja auch wieder so uneindeutig

16.10.2014, 21:28

Mathema

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Zitat:

€€dit: die 21 kann ich ja auch dank meinem modulo direkt nur als 3 schreiben..

Also hast du doch:
$\begin{eqnarray*} 1+5+3\cdot4^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Hm also 4^n mod 9 kann nur 1,4 oder 7 sein.

Dann ersetze also mal $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ durch 1, 4 oder 7 und guck ob die 9 teilt.

16.10.2014, 21:32

Kavar

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Meinchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, ich hatte irgendwie das + zwischen der 5 und 3 als $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ gesehen...

Danke Gott

16.10.2014, 21:33

Mathema

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Gern geschehen!

Schönen Abend dir.

smile

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