Herleitung Trigonometrischer Identitäten

16.10.2014, 22:21

blau

Herleitung Trigonometrischer Identitäten

Meine Frage:
Hallo,

mir Platzt gerade etwas der Kopf und bevor das noch ausartet, frage ich ein paar Mitmenschen.

Ich soll ausgehend von den Definitionen der trigonometrischen Funktionen zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} cos²\alpha = \frac{1}{1+ tan²\alpha } \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} sin²\alpha = \frac{1}{1+ cot²\alpha } \end{eqnarray*}$

Ein anderes Problem betreffend:

Es soll gezeigt werden, dass die Wurzel aus 5 eine irrationale Zahl ist.
Ich habe mich mit einer Beweisführung angefreundet, die aber plötzlich viele Frage aufwirft.

Meine Ideen:
Zu der ersten Aufgabenstellung kann ich leider noch nicht viel beitragen. Mir sind einige Identitäten bekannt, allerdings soll ich ja hier von den Definitionen der trigonometrischen Funktionen ausgehen, also
$\begin{eqnarray*} tan\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \end{eqnarray*}$ .

Wie gehe ich dieses Problem am besten an?
Selbst mit
$\begin{eqnarray*} sin²\alpha + cos²\alpha = 1 \end{eqnarray*}$
komme ich nicht wirklich auf eine Form, die der gewünschten ähnelt. Alle anderen Beziehungen müsste man ja bei dieser Art der Aufgabenstellung ebenso herleiten.

Die Beweisführung für die Irrationalität von sqrt(5) sieht bei mir folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5} = \frac{a}{b} (a, b \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$ .
Der ggt von a und b soll außerdem 1 sein. Ich habe dies analog zu einem Beweis von Euklid für die Wurzel 2 gemacht.

Weiter geht's folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} 5 = \frac{a²}{b²} 5b² = a² \Rightarrow a = 5c (c \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$
Dies soll zeigen, dass eine Zahl mit 5 multipliziert a ergibt.

Eingesetzt in die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 5b² = (5c)² = 25c² b² = 5c² \end{eqnarray*}$

Selbiges nun für b:
$\begin{eqnarray*} b = 5d (d \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ermittelt, dass sowohl für a als auch für b eine Zahl existiert, die mit 5 multipliziert a bzw. b ergibt.
Daraus folgt, dass der ggt der beiden Zahlen nicht 1 sein kann, sondern 5 sein muss und damit ist gezeigt, dass sqrt(5) nicht rational ist.

Das einzige Problem (und ich komme nicht darauf, was hier falsch gedacht ist) ist, dass ich das für jede Zahl machen kann. Nehme ich sqrt(4), so erhalte ich das Ergebnis, dass am Ende der ggt(ba)=4 und nicht 1 ist. Die Wurzel aus 4 ist aber sicherlich keine irrationale Zahl, sondern 2.

Würde mich sehr freuen, wenn mir in beiden Belangen jemand weiterhelfen kann.
Für die erste(n) Aufgabe(n) würde ich auch Lösungswege begrüßen.

16.10.2014, 22:28

RavenOnJ

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RE: Herleitung Trigonometrischer Identitäten
Setz doch einfach $\begin{align*} \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \end{align*}$ in die Gleichung $\begin{align*} \cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2 \alpha} \end{align*}$ ein. Dann im Nenner was erweitern und quasi fertig.

16.10.2014, 22:31

Mathema

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RE: Herleitung Trigonometrischer Identitäten

Zitat:

Original von blau

Meine Ideen:
Zu der ersten Aufgabenstellung kann ich leider noch nicht viel beitragen. Mir sind einige Identitäten bekannt, allerdings soll ich ja hier von den Definitionen der trigonometrischen Funktionen ausgehen, also
$\begin{eqnarray*} tan\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \end{eqnarray*}$ .

Wie gehe ich dieses Problem am besten an?
Selbst mit
$\begin{eqnarray*} sin²\alpha + cos²\alpha = 1 \end{eqnarray*}$
komme ich nicht wirklich auf eine Form, die der gewünschten ähnelt. Alle anderen Beziehungen müsste man ja bei dieser Art der Aufgabenstellung ebenso herleiten.

Das ist doch beides wunderbar Freude

Leg doch mal los damit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha }} \end{eqnarray*}$

Nun du weiter...

edit: zu spät Wink

16.10.2014, 22:47

blau

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Tatsächlich habe ich in diese (offensichtliche) Richtung schon gedacht, aber ich interpretierte die Aufgabenstellung so, dass ich nicht mit der gegebenen Identität starten darf, sondern darauf hinarbeiten muss.

Letztlich muss ich aber nur beweisen, dass die Gleichung korrekt ist?
Vielleicht hat mich einfach nur das "ausgehend" in "Zeigen Sie ausgehend von den [...], dass"
verwirrt.

16.10.2014, 23:03

blau

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Ich sollte mich mal registrieren. Gast-Doppelposts verzeiht ihr mir bitte erstmal smile

$\begin{eqnarray*} cos²\alpha = \frac{1}{a+tan²\alpha} = \frac{1}{1+\frac{sin²\alpha}{cos²\alpha} } = \frac{1}{\frac{cos²\alpha+sin²\alpha}{cos²\alpha}} = \frac{cos²\alpha}{cos²\alpha+sin²\alpha} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} cos²\alpha(cos²\alpha+sin²\alpha) = cos²\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos²\alpha+sin²\alpha = 1 1=1 \end{eqnarray*}$

Das funktioniert ja dann problemlos.

17.10.2014, 10:16

Mathema

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Das sieht doch schon gut aus. Auch wenn ich das nicht ganz verstehe verwirrt

Zitat:

Original von blau
Also:
$\begin{eqnarray*} cos²\alpha(cos²\alpha+sin²\alpha) = cos²\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos²\alpha+sin²\alpha = 1 1=1 \end{eqnarray*}$

Der cot sollte dir nun auch keine Probleme mehr bereiten, oder?

Zu deinem Beweis:
So einen Beweis macht am besten über die Primfaktorzerlegung:

Annahme: $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ist eine rationale Zahl.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 = \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5b^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Nun schreiben wir unseren Radikanden als Primfaktorzerlegung. Bei der 5 sind wir also schon fertig. Dann können wir wie folgt argumentieren:
Jeder Primfaktor kommt in einer Quadratzahl in gerader Anzahl vor. Das heißt der Primfaktor 5 kommt auf der linken Seite unserer Gleichung in ungerader Anzahl, und auf der rechten Seite in gerader Anzahl vor. Die Seiten können nicht gleich sein (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), was zu einem Widerspruch zur Annahme führt.

Was passiert für $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 4b^2=a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^2b^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Da können wir wohl nicht so argumentieren...

Wink

edit: Das ist aber keine Trigonometrie und keine Hochschulmathematik Augenzwinkern

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