Häufungspunkte bestimmen

17.10.2014, 17:32	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte bestimmen Meine Frage: Hallo miteinander, ich bräuchte kurz Hilfe bei einer Aufgabe. Bestimmen sie alle Häufungspunkte der Folge $\begin{eqnarray} z_{n} n \in\mathbb N \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z_{n}:=e^{in\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Mein Ansatz ist wie folgt: $\begin{eqnarray} z_{n}:=e^{in\frac{\pi }{4} } =\cos(n\frac{\pi }{4})+i\sin(n\frac{\pi }{4}) \end{eqnarray}$ Ich dachte jetzt an Teilfolgen, nur bin ich mir unsicher, wie ich die Teilfolgen eingrenze. Meist hat man ja eine Teilfolge über die geraden natürlichen Zahlen und dann die andere über die ungeraden natürlichen Zahlen. Aber das macht bei sin und cos wenig Sinn. Ich dachte jetzt an die Teilfolgen $\begin{eqnarray} z_{8n}, z_{8n+2}, z_{8n+4} \end{eqnarray}$ , weil ich dann ja die Cosinuseigenschaften benutzen kann. Aber ich bin mir da sehr unsicher an der Stelle. Für jeden Tipp bin ich echt dankbar. Vielen Dank im Voraus.
17.10.2014, 17:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte bestimmen Ich würde bei der Exponentialschreibweise bleiben, aber das ist Geschmacks- und vielleicht auch Gewöhnungssache. Die Idee mit $\begin{eqnarray} z_{8n+k} \end{eqnarray}$ ist gut, allerdings musst du alle $\begin{eqnarray} k\in\{0,1,\ldots ,7\} \end{eqnarray}$ berücksichtigen (warum?)
17.10.2014, 18:25	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte bestimmen Danke für die schnelle Antwort. Damit ich ganz N habe und damit alle Teilfolgen betrachtet habe,oder? Nur noch kurz eine Frage bei der Teilfolge $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{n \to \infty } z_{8n+1} =\lim_{n \to \infty }\cos((8n+1)\frac{\pi}{4})+i(\sin((8n+1)\frac{\pi}{4})=\lim_{n \to \infty }\cos(2n\pi+\frac{\pi}{4})+i\sin(2n\pi+\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray}$ weiß ich nicht genau was der Häufungspunkt ist, weil ich nicht den Grenzwert der einzelnen Summanden kenne. Wie soll ich da am Besten vorgehen?
17.10.2014, 18:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte bestimmen Nutze die Periodizität von Sinus und Cosinus
17.10.2014, 18:54	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte bestimmen Ok, die Periode ist ja jeweils 2Pi, das heißt ich gucke einfach welche Werte cos und sin an der Stelle Pi/4 mit dem Taschenrechner habe?
17.10.2014, 22:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte bestimmen Im Prinzip ja Wobei das Werte sind, die man auch gerne wissen darf - oder über $\begin{align} \sin (x) = \cos (x-\frac \pi 2) \end{align}$ und $\begin{align} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{align}$ auch mal schnell herleiten kann
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